Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever o vetor
como a soma de um elemento de
e outro de
. Estamos lidando com vetores em
, que é basicamente um espaço vetorial onde as operações são feitas módulo 11. As matérias envolvidas aqui são espaços vetoriais e a decomposição de vetores em subespaços. Vamos precisar entender como
e
são definidos e como podemos decompor o vetor dado nesses subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são os conjuntos
e
:
-
: esse conjunto contém todos os vetores em onde as duas componentes são iguais. -
: esse conjunto contém todos os vetores onde a soma das duas componentes é zero.
Esses conjuntos são subespaços de
. A ideia é que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como a soma de um vetor em
e outro em
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o vetor
. Para decompor esse vetor em uma soma de um elemento de
e outro de
, vamos chamar esses elementos de
e
, respectivamente. Assim, temos:
Nosso objetivo é encontrar
e
que satisfaçam essa equação.
Passo 4
Sabemos que em
, as componentes são iguais, ou seja, para qualquer
. E em
, a soma das componentes é zero, então para qualquer
. Vamos então expressar
dessa forma:
Portanto, queremos encontrar
e
tais que:
Passo 5
Vamos supor que as componentes de
são
. Assim, temos:
Agora, somando as duas equações:
E subtraindo as duas equações:
Como estamos em
, precisamos calcular essas divisões módulo 11. Para dividir por 2, multiplicamos pelo inverso de 2 módulo 11, que é 6, já que
.
Passo 6
Então:
Agora, precisamos das componentes
e
do vetor
. Como não temos os valores específicos de
,
e
, vamos supor que
. Assim, podemos expressar
e
em termos de
e
.
Resposta
Portanto, o vetor
pode ser escrito como a soma de:
Assim, temos:
Exercícios relacionados
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
(e)
(e)
Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
f) Resp.
f)
Dados os vetores
, determine escalares
não todos nulos tais que
.
©
©
Dados os vetores
, determine escalares
tais que
.
(b)
(b)