Dados os conjuntos V=x in Z11^2 mid x1=x2 e U=x in Z11^2 mid x1+x2=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
(f) 3 v+w-2 z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever o vetor como a soma de um elemento de e outro de . Estamos lidando com vetores em , que é basicamente um espaço vetorial onde as operações são feitas módulo 11. As matérias envolvidas aqui são espaços vetoriais e a decomposição de vetores em subespaços. Vamos precisar entender como e são definidos e como podemos decompor o vetor dado nesses subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são os conjuntos e :
  • : esse conjunto contém todos os vetores em onde as duas componentes são iguais.
  • : esse conjunto contém todos os vetores onde a soma das duas componentes é zero.
Esses conjuntos são subespaços de . A ideia é que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como a soma de um vetor em e outro em .

Passo 3

Agora, vamos considerar o vetor 3v + w - 2z = vV + uU . Para decompor esse vetor em uma soma de um elemento de e outro de , vamos chamar esses elementos de e , respectivamente. Assim, temos:
Nosso objetivo é encontrar e que satisfaçam essa equação.

Passo 4

Sabemos que em 3v + w - 2z = (a, a) + (b, -b) = (a + b, a - b) , as componentes são iguais, ou seja, para qualquer a + b = Componente 1 de (3v + w - 2z) . E em a - b = Componente 2 de (3v + w - 2z) , a soma das componentes é zero, então para qualquer . Vamos então expressar dessa forma:
Portanto, queremos encontrar e tais que:

Passo 5

Vamos supor que as componentes de a + b = c1 são a - b = c2 . Assim, temos:
(a + b) + (a - b) = c1 + c2 Rightarrow 2a = c1 + c2 Rightarrow a = c1 + c22
(a + b) - (a - b) = c1 - c2 Rightarrow 2b = c1 - c2 Rightarrow b = c1 - c22
Agora, somando as duas equações:
E subtraindo as duas equações:
Como estamos em , precisamos calcular essas divisões módulo 11. Para dividir por 2, multiplicamos pelo inverso de 2 módulo 11, que é 6, já que .

Passo 6

Então:
a = 6 times (c1 + c2) mod 11
b = 6 times (c1 - c2) mod 11
Agora, precisamos das componentes e do vetor . Como não temos os valores específicos de , e , vamos supor que . Assim, podemos expressar e em termos de e .

Resposta

Portanto, o vetor vV = (6 times (c1 + c2) mod 11, 6 times (c1 + c2) mod 11) in V pode ser escrito como a soma de:
uU = (6 times (c1 - c2) mod 11, -6 times (c1 - c2) mod 11) in U
3v + w - 2z = vV + uU
Assim, temos:

Exercícios relacionados

Dados os conjuntos V=x in R^2 mid x1=x2 e U=x in R^2 mid x1+x2=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
(e) 3 u+v-2 w
Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
f) y^prime prime-y^prime-6 y & =0 y(0)=2, y^prime(0) & =-1 ( Resp. y=35 e^3 x+75 e^-2 x)
Dados os vetores x, y in Z13^2, determine escalares a, b in Z13 não todos nulos tais que a x+b y=0.
© x=(8,3), y=(11,9)
Dados os vetores x, y, z in Z19^2, determine escalares a, b in Z19 tais que a x+b y=z.
(b) x=(5,7), y=(6,16), z=(1,12)