Dados os vetores x, y in Z13^2, determine escalares a, b in Z13 não todos nulos tais que a x+b y=0.
© x=(8,3), y=(11,9)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço Z13^2, que é tipo um plano com coordenadas que vão de 0 a 12 (porque estamos trabalhando com módulo 13). Os vetores são x = (8, 3) e y = (11, 9). A missão é encontrar dois números, a e b, também entre 0 e 12, que não sejam ambos zero ao mesmo tempo, e que, quando multiplicados pelos vetores e somados, dêem o vetor zero. Isso envolve um pouco de álgebra linear e conceitos de aritmética modular.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que queremos resolver:
a cdot x + b cdot y = 0
Substituindo os valores dos vetores, temos:
a cdot (8, 3) + b cdot (11, 9) = (0, 0)
Isso resulta em duas equações separadas para cada componente:
  1. 8a + 11b equiv 0 pmod13
  2. 3a + 9b equiv 0 pmod13

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, pegamos a primeira equação:
8a + 11b equiv 0 pmod13
Queremos isolar a, então rearrumamos:
8a equiv -11b pmod13
Como estamos trabalhando módulo 13, -11 equiv 2 pmod13 (porque -11 + 13 = 2). Então:
8a equiv 2b pmod13

Passo 4

Para isolar a, precisamos encontrar o inverso de 8 módulo 13. Isso significa achar um número que, quando multiplicado por 8, dê 1 módulo 13.
Testando, vemos que:
8 times 5 = 40 equiv 1 pmod13
Então, o inverso de 8 é 5. Multiplicando ambos os lados da equação por 5:
a equiv 2b times 5 pmod13
a equiv 10b pmod13

Passo 5

Agora que temos a em termos de b, substituímos na segunda equação:
3a + 9b equiv 0 pmod13
3(10b) + 9b equiv 0 pmod13
30b + 9b equiv 39b equiv 0 pmod13
Como 39 div 13 = 3, então 39b equiv 0 pmod13 para qualquer b. Isso significa que nossa primeira equação já garante a relação entre a e b.

Passo 6

Como a equiv 10b pmod13, podemos escolher qualquer valor para b que não faça a e b ambos zero. Por exemplo, se escolhermos b = 1:
a equiv 10 times 1 equiv 10 pmod13
Então, a = 10 e b = 1 é uma solução válida.

Resposta

Uma solução é a = 10 e b = 1, ou seja, 10 cdot x + 1 cdot y = 0 em Z13^2.

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