Dados os vetores
, determine escalares
não todos nulos tais que
.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço
, que é tipo um plano com coordenadas que vão de 0 a 12 (porque estamos trabalhando com módulo 13). Os vetores são
e
. A missão é encontrar dois números,
e
, também entre 0 e 12, que não sejam ambos zero ao mesmo tempo, e que, quando multiplicados pelos vetores e somados, dêem o vetor zero. Isso envolve um pouco de álgebra linear e conceitos de aritmética modular.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que queremos resolver:
Substituindo os valores dos vetores, temos:
Isso resulta em duas equações separadas para cada componente:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, pegamos a primeira equação:
Queremos isolar
, então rearrumamos:
Como estamos trabalhando módulo 13,
(porque
). Então:
Passo 4
Para isolar
, precisamos encontrar o inverso de 8 módulo 13. Isso significa achar um número que, quando multiplicado por 8, dê 1 módulo 13.
Testando, vemos que:
Então, o inverso de 8 é 5. Multiplicando ambos os lados da equação por 5:
Passo 5
Agora que temos
em termos de
, substituímos na segunda equação:
Como
, então
para qualquer
. Isso significa que nossa primeira equação já garante a relação entre
e
.
Passo 6
Como
, podemos escolher qualquer valor para
que não faça
e
ambos zero. Por exemplo, se escolhermos
:
Então,
e
é uma solução válida.
Resposta
Uma solução é
e
, ou seja,
em
.
Exercícios relacionados
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
(f)
(f)
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
(e)
(e)
Dados os vetores
, determine escalares
tais que
.
(b)
(b)
Mostre que os seguintes conjuntos formam
-espaços vetoriais sob as operaçães usuais.
(b)
(b)