Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
f) y^prime prime-y^prime-6 y & =0 y(0)=2, y^prime(0) & =-1 ( Resp. y=35 e^3 x+75 e^-2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace. O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - y' - 6y = 0
com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais transformando-as em equações algébricas mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Ly' = sY(s) - y(0)
Ly'' = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)
Aplicando isso na nossa equação:
Ly'' - Ly' - 6Ly = L0

Passo 3

Substituindo as transformadas das derivadas:
(s^2Y(s) - s cdot 2 - (-1)) - (sY(s) - 2) - 6Y(s) = 0
Simplificando isso:
s^2Y(s) - 2s + 1 - sY(s) + 2 - 6Y(s) = 0

Passo 4

Agora, vamos juntar os termos que envolvem (s^2 - s - 6)Y(s) - 2s + 3 = 0 e os termos constantes:
Y(s) = 2s - 3s^2 - s - 6
Isolando :

Passo 5

Vamos fatorar o denominador para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
s^2 - s - 6 = (s - 3)(s + 2)
Então, a expressão para Y(s) = 2s - 3(s - 3)(s + 2) fica:

Passo 6

Agora, vamos decompor em frações parciais:
2s - 3(s - 3)(s + 2) = As - 3 + Bs + 2
Multiplicando ambos os lados por 2s - 3 = A(s + 2) + B(s - 3) :
2(3) - 3 = A(5) Rightarrow 3 = 5A Rightarrow A = 35
Resolvendo para 2(-2) - 3 = B(-5) Rightarrow -7 = -5B Rightarrow B = 75 e Y(s) = 3/5s - 3 + 7/5s + 2 :
Para :
Para :
Então:

Passo 7

Finalmente, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
y(x) = 35 e^3x + 75 e^-2x

Resposta

y = 35 e^3 x + 75 e^-2 x

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