Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá dois conjuntos,
e
. Nosso objetivo aqui é escrever o vetor
como a soma de um elemento de
e outro de
. Para isso, vamos precisar entender como esses conjuntos se comportam e como podemos decompor um vetor em dois componentes que pertençam a cada um deles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os conjuntos
e
.
-
Conjunto
: . Isso significa que todo vetor em tem as duas coordenadas iguais. Por exemplo, , onde é um número real. -
Conjunto
: . Isso quer dizer que a soma das coordenadas é zero. Então, qualquer vetor em será da forma , onde é um número real.
Passo 3
Agora, queremos expressar o vetor
como a soma de um vetor de
e outro de
. Vamos chamar o vetor de
de
e o de
de
. Assim, temos:
Onde:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que satisfazem essa equação.
Passo 4
Vamos igualar as componentes dos vetores:
Para que isso seja igual ao vetor
, digamos que
, onde
e
são as componentes conhecidas do vetor
. Então temos:
Passo 5
Agora, precisamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Somando as duas equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 6
Com os valores de
e
encontrados, podemos agora escrever os vetores
e
:
Resposta
Portanto, o vetor
pode ser escrito como a soma de
e
da seguinte forma:
Exercícios relacionados
Determine quais dos seguintes pares são vetores em
.
(a)
(a)
Determine quais dos seguintes pares são vetores em
.
(b)
(b)
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
(e)
(e)
Dados os vetores
, determine escalares
não todos nulos tais que
.
(b)
(b)