Dados os conjuntos V=x in R^2 mid x1=x2 e U=x in R^2 mid x1+x2=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
(d) u+w

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá dois conjuntos, e . Nosso objetivo aqui é escrever o vetor como a soma de um elemento de e outro de . Para isso, vamos precisar entender como esses conjuntos se comportam e como podemos decompor um vetor em dois componentes que pertençam a cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os conjuntos e .
  • Conjunto : . Isso significa que todo vetor em tem as duas coordenadas iguais. Por exemplo, , onde é um número real.
  • Conjunto : . Isso quer dizer que a soma das coordenadas é zero. Então, qualquer vetor em será da forma , onde é um número real.

Passo 3

Agora, queremos expressar o vetor u + w = v + u' como a soma de um vetor de v = (a, a) e u' = (b, -b) e outro de . Vamos chamar o vetor de de e o de de . Assim, temos:
Onde:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que satisfazem essa equação.

Passo 4

Vamos igualar as componentes dos vetores:
u + w = (a + b, a - b)
Para que isso seja igual ao vetor c = a + b d = a - b , digamos que , onde e são as componentes conhecidas do vetor . Então temos:

Passo 5

Agora, precisamos resolver esse sistema de equações para encontrar c + d = (a + b) + (a - b) c + d = 2a a = c + d2 e c - d = (a + b) - (a - b) c - d = 2b b = c - d2 .
Somando as duas equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:

Passo 6

Com os valores de v = ( c + d2, c + d2 ) u' = ( c - d2, -c - d2 ) e encontrados, podemos agora escrever os vetores e :

Resposta

Portanto, o vetor u + w = ( c + d2, c + d2 ) + ( c - d2, -c - d2 ) pode ser escrito como a soma de e da seguinte forma:

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Determine quais dos seguintes pares são vetores em U=x in Z17^2 mid x1+x2=0.
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(b) y=(133, 135)
Dados os conjuntos V=x in Z11^2 mid x1=x2 e U=x in Z11^2 mid x1+x2=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
(e) u+w
Dados os vetores x, y in Z13^2, determine escalares a, b in Z13 não todos nulos tais que a x+b y=0.
(b) x=(7,4), y=(1,8)