Dados os conjuntos V=x in R^3 mid x1=x2=x3 e U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
v=(0,5,-3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos de vetores em :
  • : aqui, todos os componentes dos vetores são iguais.
  • : aqui, a soma das componentes dos vetores é zero.
Precisamos escrever o vetor como a soma de um vetor de e outro de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais e decomposição de vetores.

Passo 2

Vamos supor que o vetor pode ser escrito como , onde e .
Como , ele tem a forma , onde é uma constante.
Como , a soma das suas componentes deve ser zero: .

Passo 3

Escrevendo a equação (0, 5, -3) = (c, c, c) + (b1, b2, b3) :
0 = c + b1 5 = c + b2 -3 = c + b3
Isso resulta em um sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar e os componentes de :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:

Passo 5

Como b1 + b2 + b3 = (-c) + (5 - c) + (-3 - c) = 0 , a soma das componentes de -3c + 2 = 0 3c = 2 c = 23 deve ser zero:
Simplificando:

Passo 6

Agora que encontramos a = ( 23, 23, 23 ) , podemos determinar b = ( -23, 5 - 23, -3 - 23 ) = ( -23, 133, -113 ) e :

Resposta

O vetor a = ( 23, 23, 23 ) in V pode ser escrito como a soma de
b = ( -23, 133, -113 ) in U
e

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