Dados os conjuntos V=x in R^3 mid x1=x2=x3 e U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
v=(0,5,-3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos de vetores em :
  • : aqui, todos os componentes dos vetores são iguais.
  • : aqui, a soma das componentes dos vetores é zero.
Precisamos escrever o vetor como a soma de um vetor de e outro de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais e decomposição de vetores.

Passo 2

Vamos supor que o vetor pode ser escrito como , onde e .
Como , ele tem a forma , onde é uma constante.
Como , a soma das suas componentes deve ser zero: .

Passo 3

Escrevendo a equação (0, 5, -3) = (c, c, c) + (b1, b2, b3) :
0 = c + b1 5 = c + b2 -3 = c + b3
Isso resulta em um sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar e os componentes de :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:

Passo 5

Como b1 + b2 + b3 = (-c) + (5 - c) + (-3 - c) = 0 , a soma das componentes de -3c + 2 = 0 3c = 2 c = 23 deve ser zero:
Simplificando:

Passo 6

Agora que encontramos a = ( 23, 23, 23 ) , podemos determinar b = ( -23, 5 - 23, -3 - 23 ) = ( -23, 133, -113 ) e :

Resposta

O vetor a = ( 23, 23, 23 ) in V pode ser escrito como a soma de
b = ( -23, 133, -113 ) in U
e

Exercícios relacionados

Determine quais das seguintes ternas são vetores em U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0.
z=(-raiz35, raiz35, raiz35)
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
W=x in R^3 mid 3 x1-5 x2+2 x3=0
Dados os vetores x, y, z in R^3, determine ecalares a, b, c in R não todos nulos tais que a x+b y+c z=0.
x=(2,3,-1), y=(1,-4,2),
z=(-3,1,-2)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)
Dados os vetores x, y, z in R^3, determine ecalares a, b, c in R não todos nulos tais que a x+b y+c z=0.
x=(2,3,-1), y=(1,-4,2),
z=(4,-5,3)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)