Dados os conjuntos e , escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de e outro de .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos de vetores em :
: aqui, todos os componentes dos vetores são iguais.
: aqui, a soma das componentes dos vetores é zero.
Precisamos escrever o vetor como a soma de um vetor de e outro de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais e decomposição de vetores.
Passo 2
Vamos supor que o vetor pode ser escrito como , onde e .
Como , ele tem a forma , onde é uma constante.
Como , a soma das suas componentes deve ser zero: .
Passo 3
Escrevendo a equação :
Isso resulta em um sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para encontrar e os componentes de :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Passo 5
Como b1 + b2 + b3 = (-c) + (5 - c) + (-3 - c) = 0 , a soma das componentes de -3c + 2 = 0 3c = 2 c = 23 deve ser zero:
Simplificando:
Passo 6
Agora que encontramos a = ( 23, 23, 23 ) , podemos determinar b = ( -23, 5 - 23, -3 - 23 ) = ( -23, 133, -113 ) e :
Resposta
O vetor a = ( 23, 23, 23 ) in V pode ser escrito como a soma de