Dados os vetores x, y, z in R^3, determine ecalares a, b, c in R não todos nulos tais que a x+b y+c z=0.
x=(2,3,-1), y=(1,-4,2),
z=(-3,1,-2)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear, mais especificamente falando sobre combinação linear de vetores. A ideia é descobrir se existe uma maneira de combinar os vetores a cdot x + b cdot y + c cdot z = 0 com alguns números (chamados de escalares) de tal forma que a combinação dê o vetor zero. Ou seja, queremos encontrar não todos nulos que satisfaçam:
Para resolver isso, vamos precisar escrever esse sistema de equações e ver se conseguimos encontrar esses escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os vetores x = (2, 3, -1) y = (1, -4, 2) z = (-3, 1, -2) em forma de coordenadas:
a cdot (2, 3, -1) + b cdot (1, -4, 2) + c cdot (-3, 1, -2) = (0, 0, 0)
Agora, vamos montar a combinação linear dos vetores:
2a + b - 3c = 0 3a - 4b + c = 0 - a + 2b - 2c = 0
Isso nos dá um sistema de três equações:

Passo 3

Agora, precisamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de . Vamos resolver passo a passo.
Primeiro, podemos escrever o sistema de forma mais clara:
  1.   (Equação 1)
  2.   (Equação 2)
  3.   (Equação 3)
Vamos começar tentando eliminar uma das variáveis. Vou optar por eliminar .

Passo 4

Multiplique a Equação 1 por 3 e a Equação 2 por 2 para facilitar a eliminação de 6a + 3b - 9c = 0 (Equação 1 times 3) 6a - 8b + 2c = 0 (Equação 2 times 2) :
(6a + 3b - 9c) - (6a - 8b + 2c) = 0 - 0 0a + 11b - 11c = 0 11b - 11c = 0 çãçã
Agora, subtraia a nova Equação 2 da nova Equação 1:
b - c = 0 Rightarrow b = c
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora que sabemos que - a + 2c - 2c = 0 - a = 0 a = 0 , podemos usar isso na Equação 3 para encontrar .
Substitua por na Equação 3:
Então, e .

Passo 6

Agora, precisamos garantir que a = 0, b = 1, c = 1 não sejam todos nulos. Sabemos que e . Então, podemos escolher um valor para diferente de zero e encontrar .
Por exemplo, vamos escolher . Então, .
Portanto, temos:

Resposta

Os escalares que satisfazem a = 0, b = 1, c = 1 são:

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Dados os conjuntos V=x in R^3 mid x1=x2=x3 e U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
v=(0,5,-3)
Determine quais das seguintes ternas são vetores em U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0.
z=(-raiz35, raiz35, raiz35)
Dados os vetores x, y, z in R^3, determine ecalares a, b, c in R não todos nulos tais que a x+b y+c z=0.
x=(2,3,-1), y=(1,-4,2),
z=(4,-5,3)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)
Dados os vetores x, y, z in R^3, determine ecalares a, b, c in R não todos nulos tais que a x+b y+c z=0.
x=(5,-1,2), y=(2,1,2),
z=(4,-5,3)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)