Dados os vetores , determine ecalares não todos nulos tais que . ,
(Obs. Os escalares e podem não existir.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear, mais especificamente falando sobre combinação linear de vetores. A ideia é descobrir se existe uma maneira de combinar os vetores com alguns números (chamados de escalares) de tal forma que a combinação dê o vetor zero. Ou seja, queremos encontrar não todos nulos que satisfaçam:
Para resolver isso, vamos precisar escrever esse sistema de equações e ver se conseguimos encontrar esses escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os vetores em forma de coordenadas:
Agora, vamos montar a combinação linear dos vetores:
Isso nos dá um sistema de três equações:
Passo 3
Agora, precisamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de . Vamos resolver passo a passo.
Primeiro, podemos escrever o sistema de forma mais clara:
(Equação 1)
(Equação 2)
(Equação 3)
Vamos começar tentando eliminar uma das variáveis. Vou optar por eliminar .
Passo 4
Multiplique a Equação 1 por 3 e a Equação 2 por 2 para facilitar a eliminação de 6a + 3b - 9c = 0 (Equação 1 times 3) 6a - 8b + 2c = 0 (Equação 2 times 2) :
Agora, subtraia a nova Equação 2 da nova Equação 1:
b - c = 0 Rightarrow b = c
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora que sabemos que - a + 2c - 2c = 0 - a = 0 a = 0 , podemos usar isso na Equação 3 para encontrar .
Substitua por na Equação 3:
Então, e .
Passo 6
Agora, precisamos garantir que a = 0, b = 1, c = 1 não sejam todos nulos. Sabemos que e . Então, podemos escolher um valor para diferente de zero e encontrar .
Por exemplo, vamos escolher . Então, .
Portanto, temos:
Resposta
Os escalares que satisfazem a = 0, b = 1, c = 1 são: