Dados os vetores x, y, z in R^3, determine ecalares a, b, c in R não todos nulos tais que a x+b y+c z=0.
x=(2,3,-1), y=(1,-4,2),
z=(4,-5,3)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para encontrarmos números reais que não sejam todos zero, de modo que a combinação linear dos vetores resulte no vetor zero. Esse tipo de problema está relacionado com o conceito de dependência linear na álgebra linear. Para resolver, vamos montar um sistema de equações com as componentes dos vetores e resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear a(2, 3, -1) + b(1, -4, 2) + c(4, -5, 3) = (0, 0, 0) . Substituindo os vetores dados:
2a + b + 4c = 0 3a - 4b - 5c = 0 -1a + 2b + 3c = 0
Isso resulta em três equações, uma para cada componente:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou optar pelo método de eliminação para simplificar os cálculos.
Primeiro, vamos eliminar uma das variáveis. Vamos eliminar 6a + 3b + 12c = 0 6a - 8b - 10c = 0 -1a + 2b + 3c = 0 das primeiras duas equações.
Multiplicamos a primeira equação por 3 e a segunda por 2 para igualar os coeficientes de (6a + 3b + 12c) - (6a - 8b - 10c) = 0 - 0 11b + 22c = 0 b + 2c = 0 b = -2c :
Subtraindo a segunda equação da primeira:

Passo 4

Agora que temos -1a + 2(-2c) + 3c = 0 -1a - 4c + 3c = 0 -1a - c = 0 a = -c em termos de , vamos substituir na terceira equação original para encontrar :

Passo 5

Então, temos a = -1 b = -2 e . Como pode ser qualquer número real diferente de zero (para que não sejam todos zero), podemos escolher para simplificar.
Substituindo :

Passo 6

Portanto, encontramos uma solução para os escalares:
a = -1, b = -2, c = 1

Resposta

Os escalares que satisfazem são , e .

Exercícios relacionados

Dados os vetores x, y, z in R^3, determine ecalares a, b, c in R não todos nulos tais que a x+b y+c z=0.
x=(2,3,-1), y=(1,-4,2),
z=(-3,1,-2)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)
Dados os conjuntos V=x in R^3 mid x1=x2=x3 e U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
v=(0,5,-3)
Dados os vetores x, y, z in R^3, determine ecalares a, b, c in R não todos nulos tais que a x+b y+c z=0.
x=(5,-1,2), y=(2,1,2),
z=(4,-5,3)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)
Dados os vetores x, y, z, w in R^3, determine escalares a, b, c in R tais que a x+b y+c z=w.
x=(2,3,-1), y=(1,-4,2),
z=(4,-5,3), w=(5,-1,2)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)