Dados os vetores , determine ecalares não todos nulos tais que . ,
(Obs. Os escalares e podem não existir.)
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para encontrarmos números reais que não sejam todos zero, de modo que a combinação linear dos vetores resulte no vetor zero. Esse tipo de problema está relacionado com o conceito de dependência linear na álgebra linear. Para resolver, vamos montar um sistema de equações com as componentes dos vetores e resolver para .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a combinação linear . Substituindo os vetores dados:
Isso resulta em três equações, uma para cada componente:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou optar pelo método de eliminação para simplificar os cálculos.
Primeiro, vamos eliminar uma das variáveis. Vamos eliminar 6a + 3b + 12c = 0 6a - 8b - 10c = 0 -1a + 2b + 3c = 0 das primeiras duas equações.
Multiplicamos a primeira equação por 3 e a segunda por 2 para igualar os coeficientes de (6a + 3b + 12c) - (6a - 8b - 10c) = 0 - 0 11b + 22c = 0 b + 2c = 0 b = -2c :
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 4
Agora que temos -1a + 2(-2c) + 3c = 0 -1a - 4c + 3c = 0 -1a - c = 0 a = -c em termos de , vamos substituir na terceira equação original para encontrar :
Passo 5
Então, temos a = -1 b = -2 e . Como pode ser qualquer número real diferente de zero (para que não sejam todos zero), podemos escolher para simplificar.
Substituindo :
Passo 6
Portanto, encontramos uma solução para os escalares: