Dados os conjuntos e , escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de e outro de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois conjuntos de vetores no espaço tridimensional:
V é o conjunto de vetores onde todas as componentes são iguais, ou seja, .
U é o conjunto de vetores onde a soma das componentes é zero, ou seja, .
O objetivo aqui é pegar o vetor e escrevê-lo como a soma de um vetor que está em V e outro que está em U. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a decomposição de vetores em subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o vetor que está em V de , já que todas as componentes são iguais. E o vetor que está em U de , onde a soma das componentes é zero.
Segundo a condição de que , temos:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de b = 3 - a c = 5 - a d = 2 - a , b + c + d = 0 (3 - a) + (5 - a) + (2 - a) = 0 , 10 - 3a = 0 e 3a = 10 a = 103 .
Vamos começar isolando , e em função de :
Mas, como está em U, a soma das suas componentes deve ser zero:
Simplificando:
Resolvendo para :
Passo 4
Agora que temos o valor de b = 3 - a = 3 - 103 = 93 - 103 = -13 c = 5 - a = 5 - 103 = 153 - 103 = 53 d = 2 - a = 2 - 103 = 63 - 103 = -43 , podemos encontrar v = ( 103, 103, 103 ) , w = ( -13, 53, -43 ) e :
Portanto, o vetor em V é:
E o vetor em U é:
Resposta
Portanto, o vetor u = ( 103, 103, 103 ) + ( -13, 53, -43 ) pode ser escrito como a soma de: