Dados os conjuntos V=x in R^3 mid x1=x2=x3 e U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
u=(3,5,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois conjuntos de vetores no espaço tridimensional:
  • V é o conjunto de vetores onde todas as componentes são iguais, ou seja, .
  • U é o conjunto de vetores onde a soma das componentes é zero, ou seja, .
O objetivo aqui é pegar o vetor e escrevê-lo como a soma de um vetor que está em V e outro que está em U. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a decomposição de vetores em subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o vetor que está em V de (3, 5, 2) = (a + b, a + c, a + d) , já que todas as componentes são iguais. E o vetor que está em U de a + b = 3 a + c = 5 a + d = 2 , onde a soma das componentes é zero.
Segundo a condição de que , temos:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de b = 3 - a c = 5 - a d = 2 - a , b + c + d = 0 (3 - a) + (5 - a) + (2 - a) = 0 , 10 - 3a = 0 e 3a = 10 a = 103 .
Vamos começar isolando , e em função de :
Mas, como está em U, a soma das suas componentes deve ser zero:
Simplificando:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora que temos o valor de b = 3 - a = 3 - 103 = 93 - 103 = -13 c = 5 - a = 5 - 103 = 153 - 103 = 53 d = 2 - a = 2 - 103 = 63 - 103 = -43 , podemos encontrar v = ( 103, 103, 103 ) , w = ( -13, 53, -43 ) e :
Portanto, o vetor em V é:
E o vetor em U é:

Resposta

Portanto, o vetor u = ( 103, 103, 103 ) + ( -13, 53, -43 ) pode ser escrito como a soma de:
Onde pertence a V e pertence a U.

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Dados os vetores x, y, z, w in R^3, determine escalares a, b, c in R tais que a x+b y+c z=w.
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z=(4,-5,3), w=(5,-1,2)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)
Dados os vetores x, y, z in R^3, determine ecalares a, b, c in R não todos nulos tais que a x+b y+c z=0.
x=(5,-1,2), y=(2,1,2),
z=(4,-5,3)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)
Dados os conjuntos V=x in R^3 mid x1=x2=x3 e U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
u+2 w
Dados os vetores x, y in R^3, encontre z in R^3 tal que x+y=z.
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