Dados os conjuntos e , escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de e outro de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo pra gente escrever o vetor como a soma de um elemento de e outro de . Os conjuntos são definidos assim:
: ou seja, todos os vetores em que as três componentes são iguais.
: aqui, a soma das três componentes do vetor é zero.
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços e como decompor vetores em somas de elementos desses subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor os conjuntos e .
Conjunto : Todo vetor tem a forma , onde é um número real. Isso porque todas as três componentes são iguais.
Conjunto : Todo vetor satisfaz a condição .
Esses dois conjuntos são subespaços de . Além disso, eles são subespaços complementares, ou seja, toda vez que a gente tem um vetor em , dá pra escrever ele como a soma de um vetor de e outro de .
Passo 3
Vamos escrever o vetor como , onde e .
Ou seja, queremos encontrar e tais que:
Passo 4
Sabendo que , temos que para algum .
E como , sabemos que:
Passo 5
Agora, vamos igualar as componentes de a :
Queremos resolver esse sistema para encontrar e as componentes de .
Como (u1 + u2 + u3) + 2(w1 + w2 + w3) = 3a , a equação simplifica para:
a = u1 + u2 + u3 + 2(w1 + w2 + w3)3
Então, podemos resolver para :
Passo 7
Agora que encontramos u'1 = u1 + 2w1 - a , podemos determinar u'2 = u2 + 2w2 - a u'3 = u3 + 2w3 - a usando uma das equações originais. Vamos usar a primeira:
E similarmente:
E assim, temos todas as componentes de .
Passo 8
Resumindo, para escrever como a soma de um vetor de e outro de , seguimos os passos:
Calculamos .
Definimos .
Calculamos .
Resposta
A soma do vetor u + 2w = v + u' pode ser escrita como:
v = ( u1 + u2 + u3 + 2(w1 + w2 + w3)3, u1 + u2 + u3 + 2(w1 + w2 + w3)3, u1 + u2 + u3 + 2(w1 + w2 + w3)3 )