Dados os conjuntos V=x in R^3 mid x1=x2=x3 e U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
u+2 w

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo pra gente escrever o vetor como a soma de um elemento de e outro de . Os conjuntos são definidos assim:
  • : ou seja, todos os vetores em que as três componentes são iguais.
  • : aqui, a soma das três componentes do vetor é zero.
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços e como decompor vetores em somas de elementos desses subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os conjuntos e .
  • Conjunto : Todo vetor tem a forma , onde é um número real. Isso porque todas as três componentes são iguais.
  • Conjunto : Todo vetor satisfaz a condição .
Esses dois conjuntos são subespaços de . Além disso, eles são subespaços complementares, ou seja, toda vez que a gente tem um vetor em , dá pra escrever ele como a soma de um vetor de e outro de .

Passo 3

Vamos escrever o vetor u + 2w = v + u' como , onde e .
Ou seja, queremos encontrar e tais que:

Passo 4

Sabendo que u'1 + u'2 + u'3 = 0 , temos que para algum .
E como , sabemos que:

Passo 5

Agora, vamos igualar as componentes de u1 + 2w1 = a + u'1 u2 + 2w2 = a + u'2 u3 + 2w3 = a + u'3 a :
Queremos resolver esse sistema para encontrar e as componentes de .

Passo 6

Somando todas as três equações, temos:
(u1 + 2w1) + (u2 + 2w2) + (u3 + 2w3) = 3a + (u'1 + u'2 + u'3)
Como (u1 + u2 + u3) + 2(w1 + w2 + w3) = 3a , a equação simplifica para:
a = u1 + u2 + u3 + 2(w1 + w2 + w3)3
Então, podemos resolver para :

Passo 7

Agora que encontramos u'1 = u1 + 2w1 - a , podemos determinar u'2 = u2 + 2w2 - a u'3 = u3 + 2w3 - a usando uma das equações originais. Vamos usar a primeira:
E similarmente:
E assim, temos todas as componentes de .

Passo 8

Resumindo, para escrever como a soma de um vetor de e outro de , seguimos os passos:
  1. Calculamos .
  2. Definimos .
  3. Calculamos .

Resposta

A soma do vetor u + 2w = v + u' pode ser escrita como:
v = ( u1 + u2 + u3 + 2(w1 + w2 + w3)3, u1 + u2 + u3 + 2(w1 + w2 + w3)3, u1 + u2 + u3 + 2(w1 + w2 + w3)3 )
onde
u' = ( u1 + 2w1 - u1 + u2 + u3 + 2(w1 + w2 + w3)3, u2 + 2w2 - u1 + u2 + u3 + 2(w1 + w2 + w3)3, u3 + 2w3 - u1 + u2 + u3 + 2(w1 + w2 + w3)3 )
e
Assim, pertence a e pertence a .

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Dados os conjuntos V=x in R^3 mid x1=x2=x3 e U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
u=(3,5,2)
Dados os vetores x, y, z, w in R^3, determine escalares a, b, c in R tais que a x+b y+c z=w.
x=(2,3,-1), y=(1,-4,2),
z=(4,-5,3), w=(5,-1,2)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)
Dados os vetores x, y in R^3, encontre z in R^3 tal que x+y=z.
x=(-1,0,2), y=(2,3,-1)
Dados os vetores x, y in R^3, encontre z in R^3 tal que x+y=z.
x=(35,-1,1), y=(1,1,-1)