Dados os vetores x, y, z, w in R^3, determine escalares a, b, c in R tais que a x+b y+c z=w.
x=(2,3,-1), y=(1,-4,2),
z=(4,-5,3), w=(5,-1,2)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)

Passo 1

Beleza, vamos trabalhar com vetores no espaço tridimensional aqui. A gente tem quatro vetores: e , todos em . O objetivo é encontrar os escalares que, quando combinados linearmente com , resultam em . Ou seja, queremos que . Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações baseado nas componentes desses vetores e resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação vetorial 2a + b + 4c = 5 3a - 4b - 5c = -1 - a + 2b + 3c = 2 de forma explícita nas suas componentes. Isso significa que cada componente do lado esquerdo deve ser igual à componente correspondente do lado direito. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Aqui, vou usar o método de eliminação para simplificar o processo.
Primeiro, vamos multiplicar a terceira equação por 2 para facilitar a eliminação de -2a + 4b + 6c = 4 :
(2a + b + 4c) + (-2a + 4b + 6c) = 5 + 4 0a + 5b + 10c = 9
Agora, somamos essa equação com a primeira:
5b + 10c = 9 Rightarrow b + 2c = 95
Simplificando, temos:

Passo 4

Vamos agora trabalhar com a segunda equação e a equação resultante do Passo 3. A segunda equação é:
3a - 4b - 5c = -1
Da equação b = 95 - 2c , podemos isolar 3a - 4(95 - 2c) - 5c = -1 3a - 365 + 8c - 5c = -1 3a + 3c = 315 :
a = 315 - 3c3 = 3115 - c
Substituindo na segunda equação:
Isolando :

Passo 5

Agora, vamos usar o valor de 2a + b + 4c = 5 encontrado e substituir na primeira equação para encontrar 2(3115 - c) + (95 - 2c) + 4c = 5 6215 - 2c + 95 - 2c + 4c = 5 6215 + 2715 = 5 8915 = 5 . A primeira equação é:
Substituindo e :
Isso resulta em uma contradição, já que não é igual a 5.

Resposta

Não existem valores reais para que satisfaçam a equação . Portanto, os escalares não existem para este caso.

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Dados os vetores x, y, z in R^3, determine ecalares a, b, c in R não todos nulos tais que a x+b y+c z=0.
x=(5,-1,2), y=(2,1,2),
z=(4,-5,3)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)
Dados os vetores x, y, z in R^3, determine ecalares a, b, c in R não todos nulos tais que a x+b y+c z=0.
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(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)
Dados os conjuntos V=x in R^3 mid x1=x2=x3 e U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
u=(3,5,2)
Dados os conjuntos V=x in R^3 mid x1=x2=x3 e U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
u+2 w