Dados os vetores x, y, z in R^3, determine ecalares a, b, c in R não todos nulos tais que a x+b y+c z=0.
x=(5,-1,2), y=(2,1,2),
z=(4,-5,3)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar escalares que não sejam todos zero, de modo que a combinação linear seja verdadeira. Aqui estamos trabalhando com vetores em , e o conteúdo principal é sobre dependência linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações baseado nos componentes dos vetores e verificar se há uma solução não trivial.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os vetores:
x = (5, -1, 2), y = (2, 1, 2), z = (4, -5, 3)
Queremos achar a x + b y + c z = (0, 0, 0) tais que:
5a + 2b + 4c = 0 -1a + 1b - 5c = 0 2a + 2b + 3c = 0
O que dá nas componentes:
Isso forma um sistema linear homogêneo.

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular o determinante para ver se existe uma solução não trivial (ou seja, onde pelo menos um dos A = 5 & 2 & 4 -1 & 1 & -5 2 & 2 & 3 não é zero).
A matriz é:
det(A) = 5(1 cdot 3 - (-5) cdot 2) - 2(-1 cdot 3 - (-5) cdot 2) + 4(-1 cdot 2 - 1 cdot 2)
Calculando o determinante de = 5(3 + 10) - 2(-3 + 10) + 4(-2 - 2) :
= 5 cdot 13 - 2 cdot 7 + 4 cdot (-4)
= 65 - 14 - 16 = 35
Como o determinante é diferente de zero ( ), isso significa que o único solução para o sistema é a trivial: .

Resposta

Não existem escalares não todos nulos que satisfaçam a equação .

Exercícios relacionados

Dados os vetores x, y, z in R^3, determine ecalares a, b, c in R não todos nulos tais que a x+b y+c z=0.
x=(2,3,-1), y=(1,-4,2),
z=(4,-5,3)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)
Dados os vetores x, y, z in R^3, determine ecalares a, b, c in R não todos nulos tais que a x+b y+c z=0.
x=(2,3,-1), y=(1,-4,2),
z=(-3,1,-2)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)
Dados os vetores x, y, z, w in R^3, determine escalares a, b, c in R tais que a x+b y+c z=w.
x=(2,3,-1), y=(1,-4,2),
z=(4,-5,3), w=(5,-1,2)
(Obs. Os escalares a, b e c podem não existir.)
Dados os conjuntos V=x in R^3 mid x1=x2=x3 e U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
u=(3,5,2)