Dados os conjuntos V=x in R^3 mid x1=x2=x3 e U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
w=(9,-4,0)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos de vetores em :
  • : vetores onde todas as componentes são iguais.
  • : vetores cujas componentes somam zero.
O objetivo é escrever o vetor como a soma de um vetor de e outro de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais e decomposição de vetores.

Passo 2

Vamos supor que existe um vetor w = v + u e um vetor v = (a, a, a) tais que:
u = (u1, u2, u3) com u1 + u2 + u3 = 0
Como e todas as suas componentes são iguais, podemos escrever:
onde é um número real.
Como e a soma de suas componentes é zero, temos:

Passo 3

Substituindo (9, -4, 0) = (a, a, a) + (u1, u2, u3) e 9 = a + u1 na equação -4 = a + u2 :
0 = a + u3
Isso resulta nas seguintes equações:

Passo 4

Agora temos um sistema de três equações:
9 = a + u1 -4 = a + u2 0 = a + u3
Queremos encontrar os valores de u1 = 9 - a , u2 = -4 - a , u3 = -a e . Vamos expressar , e em função de :

Passo 5

Sabemos que u1 + u2 + u3 = 0 , ou seja, a soma das componentes de (9 - a) + (-4 - a) + (-a) = 0 deve ser igual a zero:
9 - a - 4 - a - a = 0
Substituindo os valores encontrados:
5 - 3a = 0

Passo 6

Resolvendo a equação para 5 - 3a = 0 :
3a = 5
a = 53

Passo 7

Agora que encontramos o valor de u1 = 9 - 53 = 273 - 53 = 223 , podemos determinar u2 = -4 - 53 = -123 - 53 = -173 , u3 = -53 e :

Resposta

Portanto, o vetor v = (53, 53, 53) in V pode ser escrito como a soma dos vetores u = (223, -173, -53) in U e w = v + u = (53, 53, 53) + (223, -173, -53) , onde:
Assim:

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Mostre que os seguintes conjuntos formam Z11-espaços vetoriais sob as operações usuais.
U=x in Z11^3 mid x1+x2+x3=0
Dados os vetores x, y in R^3, encontre z in R^3 tal que x+y=z.
x=(35,-1,1), y=(1,1,-1)
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
V=x in R^3 mid x1=x2=x3
Mostre que os seguintes conjuntos formam Z11-espaços vetoriais sob as operações usuais.
W=x in Z11^3 mid 3 x1-5 x2+2 x3=0