Dados os conjuntos e , escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de e outro de .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos de vetores em :
: vetores onde todas as componentes são iguais.
: vetores cujas componentes somam zero.
O objetivo é escrever o vetor como a soma de um vetor de e outro de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais e decomposição de vetores.
Passo 2
Vamos supor que existe um vetor e um vetor tais que:
Como e todas as suas componentes são iguais, podemos escrever:
onde é um número real.
Como e a soma de suas componentes é zero, temos:
Passo 3
Substituindo e na equação :
Isso resulta nas seguintes equações:
Passo 4
Agora temos um sistema de três equações:
Queremos encontrar os valores de u1 = 9 - a , u2 = -4 - a , u3 = -a e . Vamos expressar , e em função de :
Passo 5
Sabemos que u1 + u2 + u3 = 0 , ou seja, a soma das componentes de (9 - a) + (-4 - a) + (-a) = 0 deve ser igual a zero:
9 - a - 4 - a - a = 0
Substituindo os valores encontrados:
5 - 3a = 0
Passo 6
Resolvendo a equação para 5 - 3a = 0 :
3a = 5
a = 53
Passo 7
Agora que encontramos o valor de u1 = 9 - 53 = 273 - 53 = 223 , podemos determinar u2 = -4 - 53 = -123 - 53 = -173 , u3 = -53 e :
Resposta
Portanto, o vetor v = (53, 53, 53) in V pode ser escrito como a soma dos vetores u = (223, -173, -53) in U e w = v + u = (53, 53, 53) + (223, -173, -53) , onde: