Mostre que os seguintes conjuntos formam
-espaços vetoriais sob as operações usuais.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que o conjunto
, definido como
, é um espaço vetorial sobre
com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos básicos de espaços vetoriais, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, além das propriedades que esses espaços devem satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Sejam
e
pertencentes a
. Isso quer dizer que:
Agora, somamos
e
:
A soma das componentes de
é:
Então,
também satisfaz a condição
, ou seja,
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos um vetor em
e multiplicarmos por qualquer escalar em
, o resultado também deve estar em
.
Seja
e
. A multiplicação por escalar é:
A soma das componentes de
é:
Portanto,
também satisfaz a condição
, ou seja,
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
Além de fechamento, precisamos verificar se
satisfaz as propriedades de um espaço vetorial, como existência do vetor zero, existência de adição e multiplicação por escalar, e outras propriedades como associatividade e distributividade. Mas, já que
é um subconjunto de
, que já é um espaço vetorial, e
é fechado sob as operações necessárias, todas essas propriedades são automaticamente satisfeitas.
Resposta
Concluímos que
é de fato um espaço vetorial sobre
, pois satisfaz as condições de fechamento sob adição e multiplicação por escalar, além de herdarem as propriedades necessárias de
.
Exercícios relacionados
Dados os vetores
, encontre
tal que
.
Dados os vetores
, encontre
tal que
.
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.