Mostre que os seguintes conjuntos formam Z11-espaços vetoriais sob as operações usuais.
U=x in Z11^3 mid x1+x2+x3=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que o conjunto , definido como , é um espaço vetorial sobre com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos básicos de espaços vetoriais, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, além das propriedades que esses espaços devem satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se u1 + u2 + u3 = 0 e v1 + v2 + v3 = 0 é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) , a soma deles também deve estar em (u1 + v1) + (u2 + v2) + (u3 + v3) = (u1 + u2 + u3) + (v1 + v2 + v3) = 0 + 0 = 0 .
Sejam e pertencentes a . Isso quer dizer que:
Agora, somamos e :
A soma das componentes de é:
Então, também satisfaz a condição , ou seja, . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 3

Agora, vamos verificar se c cdot u = (c u1, c u2, c u3) é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos um vetor em c u1 + c u2 + c u3 = c (u1 + u2 + u3) = c cdot 0 = 0 e multiplicarmos por qualquer escalar em , o resultado também deve estar em .
Seja e . A multiplicação por escalar é:
A soma das componentes de é:
Portanto, também satisfaz a condição , ou seja, . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Além de fechamento, precisamos verificar se satisfaz as propriedades de um espaço vetorial, como existência do vetor zero, existência de adição e multiplicação por escalar, e outras propriedades como associatividade e distributividade. Mas, já que é um subconjunto de , que já é um espaço vetorial, e é fechado sob as operações necessárias, todas essas propriedades são automaticamente satisfeitas.

Resposta

Concluímos que é de fato um espaço vetorial sobre , pois satisfaz as condições de fechamento sob adição e multiplicação por escalar, além de herdarem as propriedades necessárias de .

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w=(9,-4,0)
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
V=x in R^3 mid x1=x2=x3