Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
V=x in R^3 mid x1=x2=x3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto é um espaço vetorial real, usando as operações normais de soma e multiplicação por escalar. Para isso, vamos lembrar o que define um espaço vetorial e verificar passo a passo se atende a esses requisitos.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se não está vazio. Ou seja, existe pelo menos um vetor em ? Olha só, se a gente coloca , o vetor está em , porque todas as coordenadas são iguais. Então, não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechado sob adição. Isso significa que se a gente pegar dois vetores quaisquer em e somar, o resultado também precisa estar em . Então, pega dois vetores qualquer e em . A soma deles é . Viu? Todas as coordenadas da soma são iguais, então está em .

Passo 4

Vamos verificar agora a multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente pegar um vetor em e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar em . Seja em e um escalar qualquer. Então, . Todas as coordenadas ainda são iguais, então pertence a .

Passo 5

Como comprovamos que não está vazio, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que satisfaz todos os requisitos para ser um espaço vetorial real.

Resposta

O conjunto é um espaço vetorial real sob as operações usuais.

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