Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto
é um espaço vetorial real, usando as operações normais de soma e multiplicação por escalar. Para isso, vamos lembrar o que define um espaço vetorial e verificar passo a passo se
atende a esses requisitos.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
não está vazio. Ou seja, existe pelo menos um vetor em
? Olha só, se a gente coloca
, o vetor
está em
, porque todas as coordenadas são iguais. Então,
não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Isso significa que se a gente pegar dois vetores quaisquer em
e somar, o resultado também precisa estar em
. Então, pega dois vetores qualquer
e
em
. A soma deles é
. Viu? Todas as coordenadas da soma são iguais, então
está em
.
Passo 4
Vamos verificar agora a multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente pegar um vetor em
e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar em
. Seja
em
e
um escalar qualquer. Então,
. Todas as coordenadas ainda são iguais, então
pertence a
.
Passo 5
Como comprovamos que
não está vazio, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
satisfaz todos os requisitos para ser um espaço vetorial real.
Resposta
O conjunto
é um espaço vetorial real sob as operações usuais.
Exercícios relacionados
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
Mostre que os seguintes conjuntos formam
-espaços vetoriais sob as operações usuais.
Mostre que os seguintes conjuntos formam
-espaços vetoriais sob as operações usuais.
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.