Mostre que os seguintes conjuntos formam Z11-espaços vetoriais sob as operações usuais.
W=x in Z11^3 mid 3 x1-5 x2+2 x3=0

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa mostrar que o conjunto é um espaço vetorial sobre o conjunto dos inteiros módulo 11, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender o que significa ser um espaço vetorial e verificar algumas propriedades básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o conjunto dos restos da divisão de inteiros por 11, ou seja, . Um espaço vetorial sobre precisa satisfazer algumas propriedades, como ter um vetor zero, ser fechado sob adição e multiplicação por escalar.

Passo 3

Vamos começar verificando se o vetor zero está em 3(0) - 5(0) + 2(0) = 0 . O vetor zero em é . Substituindo na equação:
Isso satisfaz a equação, então o vetor zero está em .

Passo 4

Agora, vamos verificar se 3u1 - 5u2 + 2u3 = 0 e 3v1 - 5v2 + 2v3 = 0 é fechado sob adição. Seja u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) e 3(u1 + v1) - 5(u2 + v2) + 2(u3 + v3) = (3u1 - 5u2 + 2u3) + (3v1 - 5v2 + 2v3) = 0 + 0 = 0 dois vetores em . Isso significa que:
Vamos somar os vetores:
Substituindo na equação:
Então, também está em .

Passo 5

Agora, vamos verificar se c cdot u = (c u1, c u2, c u3) é fechado sob multiplicação por escalar. Seja 3(c u1) - 5(c u2) + 2(c u3) = c(3u1 - 5u2 + 2u3) = c cdot 0 = 0 e em . Multiplicando por :
Substituindo na equação:
Então, também está em .

Resposta

Assim, mostramos que contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar em . Portanto, é de fato um espaço vetorial sobre .

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Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
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Dados os conjuntos V=x in R^3 mid x1=x2=x3 e U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
w=(9,-4,0)
Dados os conjuntos V=x in R^3 mid x1=x2=x3 e U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
3 u+v-2 w
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0