Mostre que os seguintes conjuntos formam
-espaços vetoriais sob as operações usuais.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa mostrar que o conjunto
é um espaço vetorial sobre o conjunto dos inteiros módulo 11, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender o que significa ser um espaço vetorial e verificar algumas propriedades básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o conjunto dos restos da divisão de inteiros por 11, ou seja,
. Um espaço vetorial sobre
precisa satisfazer algumas propriedades, como ter um vetor zero, ser fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Passo 3
Vamos começar verificando se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação:
Isso satisfaz a equação, então o vetor zero está em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Seja
e
dois vetores em
. Isso significa que:
Vamos somar os vetores:
Substituindo na equação:
Então,
também está em
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
e
em
. Multiplicando por
:
Substituindo na equação:
Então,
também está em
.
Resposta
Assim, mostramos que
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar em
. Portanto,
é de fato um espaço vetorial sobre
.
Exercícios relacionados
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.