Dados os conjuntos V=x in R^3 mid x1=x2=x3 e U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
3 u+v-2 w

Passo 1

Vamos resolver o problema de escrever o vetor como a soma de um elemento do conjunto e outro do conjunto . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de subespaços vetoriais e como decompor vetores em somas de componentes pertencentes a esses subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor que precisamos decompor. Sabemos que:
3u + v - 2w = 3(1,0,0) + (0,1,0) - 2(0,0,1) = (3, 1, -2)
Então, nosso vetor alvo é .

Passo 3

Agora, queremos escrever esse vetor como a soma de dois vetores, um de a in V e b in U e outro de a + b = (3, 1, -2) . Vamos chamar:
Então:

Passo 4

Vamos parametrizar o vetor a = (t, t, t) que pertence a . Como é o conjunto de vetores onde todas as componentes são iguais, podemos escrever:
para algum número real .

Passo 5

Agora, expressamos o vetor b = (3, 1, -2) - a = (3 - t, 1 - t, -2 - t) em termos de b1 + b2 + b3 = 0 :
Como deve pertencer a , ele deve satisfazer a condição:

Passo 6

Vamos substituir os componentes de (3 - t) + (1 - t) + (-2 - t) = 0 na condição de 3 + 1 - 2 - 3t = 0 2 - 3t = 0 :
t = 23
Simplificando:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora que encontramos a = ( 23, 23, 23 ) , podemos determinar o vetor b = ( 3 - 23, 1 - 23, -2 - 23 ) = ( 73, 13, -83 ) :
E o vetor :

Resposta

Portanto, o vetor 3u + v - 2w = ( 23, 23, 23 ) + ( 73, 13, -83 ) pode ser escrito como:
onde e .

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