Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de escrever o vetor
como a soma de um elemento do conjunto
e outro do conjunto
. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de subespaços vetoriais e como decompor vetores em somas de componentes pertencentes a esses subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor que precisamos decompor. Sabemos que:
Então, nosso vetor alvo é
.
Passo 3
Agora, queremos escrever esse vetor como a soma de dois vetores, um de
e outro de
. Vamos chamar:
Então:
Passo 4
Vamos parametrizar o vetor
que pertence a
. Como
é o conjunto de vetores onde todas as componentes são iguais, podemos escrever:
para algum número real
.
Passo 5
Agora, expressamos o vetor
em termos de
:
Como
deve pertencer a
, ele deve satisfazer a condição:
Passo 6
Vamos substituir os componentes de
na condição de
:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora que encontramos
, podemos determinar o vetor
:
E o vetor
:
Resposta
Portanto, o vetor
pode ser escrito como:
onde
e
.