Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto é um espaço vetorial real usando as operações que já conhecemos. Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear, verificando se satisfaz os critérios necessários para ser um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos confirmar se o vetor zero está em 0 + 0 + 0 = 0 . O vetor zero em é . Vamos verificar se ele satisfaz a condição .
Substituindo:
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está dentro de .

Passo 3

Agora, vamos verificar se u1 + u2 + u3 = 0 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em v1 + v2 + v3 = 0 , a soma deles também deve estar em u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) .
Sejam (u1 + v1) + (u2 + v2) + (u3 + v3) = (u1 + u2 + u3) + (v1 + v2 + v3) = 0 + 0 = 0 e em . Então:
Somando os vetores:
Vamos verificar a soma das componentes:
Portanto, também pertence a .

Passo 4

Por último, vamos ver se c cdot u = (c cdot u1, c cdot u2, c cdot u3) é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos qualquer vetor em c cdot u1 + c cdot u2 + c cdot u3 = c cdot (u1 + u2 + u3) = c cdot 0 = 0 por um número real, o resultado também deve estar em .
Seja em e um número real. Então:
Verificando a soma das componentes:
Assim, também pertence a .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um espaço vetorial real.

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Mostre que os seguintes conjuntos formam Z11-espaços vetoriais sob as operações usuais.
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Determine quais das seguintes ternas são vetores em U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0.
y=(1317,-1517, 217)