Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto
é um espaço vetorial real usando as operações que já conhecemos. Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear, verificando se
satisfaz os critérios necessários para ser um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, precisamos confirmar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Vamos verificar se ele satisfaz a condição
.
Substituindo:
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Sejam
e
em
. Então:
Somando os vetores:
Vamos verificar a soma das componentes:
Portanto,
também pertence a
.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos qualquer vetor em
por um número real, o resultado também deve estar em
.
Seja
em
e
um número real. Então:
Verificando a soma das componentes:
Assim,
também pertence a
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que
é de fato um espaço vetorial real.
Exercícios relacionados
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
Mostre que os seguintes conjuntos formam
-espaços vetoriais sob as operações usuais.
Mostre que os seguintes conjuntos formam
-espaços vetoriais sob as operações usuais.
Determine quais das seguintes ternas são vetores em
.