Mostre que os seguintes conjuntos formam
-espaços vetoriais sob as operações usuais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que o conjunto
é um espaço vetorial sobre
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais. Pra resolver isso, a gente precisa verificar se
satisfaz os axiomas de um espaço vetorial, ou seja, se ele é fechado sob as operações de adição e multiplicação por escalar, e se contém o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se
não está vazio e se contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Olhando para a definição de
, vemos que
satisfaz a condição
. Então,
está em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também está em
. Seja
e
onde
. A soma é
. Como
está em
, concluímos que
. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isto é, se multiplicarmos um vetor qualquer de
por um escalar de
, o resultado também está em
. Seja
e
. A multiplicação por escalar dá
. Como
está em
, temos que
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Concluímos que
satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sobre
, ou seja,
é um
-espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
Determine quais das seguintes ternas são vetores em
.
Determine quais dos seguintes ternas são vetores em
.