Mostre que os seguintes conjuntos formam Z11-espaços vetoriais sob as operações usuais.
V=x in Z11^3 mid x1=x2=x3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que o conjunto é um espaço vetorial sobre . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais. Pra resolver isso, a gente precisa verificar se satisfaz os axiomas de um espaço vetorial, ou seja, se ele é fechado sob as operações de adição e multiplicação por escalar, e se contém o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se não está vazio e se contém o vetor zero. O vetor zero em é . Olhando para a definição de , vemos que satisfaz a condição . Então, está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também está em . Seja e onde . A soma é . Como está em , concluímos que . Assim, é fechado sob adição.

Passo 4

Por fim, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isto é, se multiplicarmos um vetor qualquer de por um escalar de , o resultado também está em . Seja e . A multiplicação por escalar dá . Como está em , temos que . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Concluímos que satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sobre , ou seja, é um -espaço vetorial.

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Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0
Dados os conjuntos V=x in R^3 mid x1=x2=x3 e U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
3 u+v-2 w
Determine quais das seguintes ternas são vetores em U=x in R^3 mid x1+x2+x3=0.
y=(1317,-1517, 217)
Determine quais dos seguintes ternas são vetores em W=x in R^3 mid 3 x1-5 x2+4 x3=0.
y=(13, 25, 14)