Dados os conjuntos V=x in Z11^2 mid x1=x2 e U=x in Z11^2 mid x1+x2=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
© w=(9,4)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: temos dois conjuntos de vetores, e , definidos em . Queremos expressar o vetor como a soma de um vetor de e outro de .
Aqui, vamos precisar entender bem o que são e :
  • : são vetores onde as duas coordenadas são iguais.
  • : são vetores onde a soma das duas coordenadas é zero no módulo 11.
Para resolver, vamos usar conceitos de álgebra linear e operações com vetores em espaços vetoriais sobre corpos finitos.

Passo 2

Queremos encontrar dois vetores, v + u = w e (a, a) + (b, c) = (a + b, a + c) = (9, 4) , tais que:
Vamos representar e da seguinte forma:
  • Como , podemos escrever , já que as duas coordenadas são iguais.
  • Como , podemos escrever , onde .
Então, temos:

Passo 3

Isso nos leva a um sistema de equações:
a + b equiv 9 pmod11 a + c equiv 4 pmod11 b + c equiv 0 pmod11
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 4

Primeiro, da primeira equação:
b equiv 9 - a pmod11
Da segunda equação:
c equiv 4 - a pmod11
Agora, substituímos (9 - a) + (4 - a) equiv 0 pmod11 e 13 - 2a equiv 0 pmod11 na terceira equação:
-2a equiv -13 pmod11 Rightarrow -2a equiv -13 + 11 times 2 equiv 9 pmod11
2a equiv -9 equiv 2 pmod11 (mu
a equiv 2 times (2^-1 pmod11)
a equiv 2 times 6 equiv 12 equiv 1 pmod11
a = 1
Sabemos que porque . Então:

Passo 5

Agora que temos b equiv 9 - 1 equiv 8 pmod11 , substituímos de volta para encontrar c equiv 4 - 1 equiv 3 pmod11 e v = (1,1) in V e u = (8,3) in U :
Portanto:

Resposta

O vetor w = (1,1) + (8,3) pode ser escrito como a soma de e :

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