Nos itens abaixo, encontre a transformada de Laplace da função f(x)=.
c) 5 e^-a x sin (omega x)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a transformada de Laplace da função .
Conteúdo: Transformada de Laplace.
O que vamos precisar: Conhecer a definição da transformada de Laplace e as fórmulas de transformadas de funções exponenciais e senoidais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função Lf(x) = integral0^infty e^-s x f(x) , dx é dada por:
Isso significa que vamos integrar a função multiplicada por de 0 até o infinito.

Passo 3

Nossa função é L5 e^-a x sin (omega x) = 5 integral0^infty e^-s x e^-a x sin (omega x) , dx . Vamos aplicar a transformada de Laplace a essa função:
Aqui, tiramos o 5 da integral porque é uma constante.

Passo 4

Podemos simplificar os termos exponenciais multiplicando e^-s x e^-a x = e^-(s + a) x por 5 integral0^infty e^-(s + a) x sin (omega x) , dx :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da transformada de Laplace para Le^-b x sin (c x) = c(s + b)^2 + c^2 :
Comparando com nossa integral, temos e .

Passo 6

Aplicando a fórmula:
5 times omega(s + a)^2 + omega^2
Multiplicamos por 5 porque estava na frente da função original.

Resposta

L5 e^-a x sin (omega x) = 5,omega(s + a)^2 + omega^2

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