Dados os vetores
, determine escalares
tais que
.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três vetores
,
e
no espaço
. Precisamos encontrar dois números
e
também em
(ou seja, valores de 0 a 18) que satisfaçam a equação
. Para resolver isso, usaremos aritmética modular e resolveremos um sistema de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação
componente por componente. Isso nos dá:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.
Passo 3
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, focamos na primeira equação para encontrar uma relação entre
e
:
Queremos isolar
, então subtraímos
de ambos os lados:
Passo 4
Para encontrar
, precisamos multiplicar ambos os lados pela inversa de 5 módulo 19. A inversa de um número
em módulo
é o número
tal que
.
Descobrimos que a inversa de 5 em
é 4, pois
. Então, multiplicamos ambos os lados por 4:
Simplificando
módulo 19:
. Assim:
Passo 5
Agora, substituímos a expressão de
na segunda equação do sistema:
Simplificando
e
módulo 19:
Portanto:
Isso não é possível, já que 9 não é congruente a 12 módulo 19.
Resposta
Não existem escalares
e
em
que satisfaçam a equação
para os vetores dados.
Exercícios relacionados
Dados os vetores
, determine escalares
não todos nulos tais que
.
©
©
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
(f)
(f)
Mostre que os seguintes conjuntos formam
-espaços vetoriais sob as operaçães usuais.
(b)
(b)
Determine quais dos seguintes pares são vetores em
.
©
©