Dados os vetores x, y, z in Z19^2, determine escalares a, b in Z19 tais que a x+b y=z.
(b) x=(5,7), y=(6,16), z=(1,12)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três vetores , e no espaço . Precisamos encontrar dois números e também em (ou seja, valores de 0 a 18) que satisfaçam a equação . Para resolver isso, usaremos aritmética modular e resolveremos um sistema de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação a cdot 5 + b cdot 6 equiv 1 (mod 19) componente por componente. Isso nos dá:
a cdot 7 + b cdot 16 equiv 12 (mod 19)
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, focamos na primeira equação para encontrar uma relação entre 5a + 6b equiv 1 (mod 19) e 5a equiv 1 - 6b (mod 19) :
Queremos isolar , então subtraímos de ambos os lados:

Passo 4

Para encontrar a equiv 4 cdot (1 - 6b) (mod 19) , precisamos multiplicar ambos os lados pela inversa de 5 módulo 19. A inversa de um número a equiv 4 - 24b (mod 19) em módulo a equiv 4 + 14b (mod 19) é o número tal que .
Descobrimos que a inversa de 5 em é 4, pois . Então, multiplicamos ambos os lados por 4:
Simplificando módulo 19: . Assim:

Passo 5

Agora, substituímos a expressão de 7a + 16b equiv 12 (mod 19) na segunda equação do sistema:
7(4 + 14b) + 16b equiv 12 (mod 19)
28 + 98b + 16b equiv 12 (mod 19)
28 + 114b equiv 12 (mod 19)
28 equiv 28 - 19 = 9 (mod 19)
Simplificando 114 equiv 114 - 19 cdot 6 = 0 (mod 19) e 9 + 0b equiv 12 (mod 19) módulo 19:
9 equiv 12 (mod 19)
Portanto:
Isso não é possível, já que 9 não é congruente a 12 módulo 19.

Resposta

Não existem escalares e em que satisfaçam a equação para os vetores dados.

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