Seja
um corpo ordenado. Prove as seguintes propriedades:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, em um corpo ordenado
, se
e
, então necessariamente
. Isso faz parte da matéria de Álgebra, especificamente sobre corpos ordenados e suas propriedades. Para resolver isso, vamos usar as definições básicas de um corpo ordenado e a propriedade de transitividade da ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um corpo ordenado. É um conjunto
que é um corpo (ou seja, tem operações de adição e multiplicação bem definidas, com propriedades como comutatividade, associatividade, existência de inversos, etc.) e está equipado com uma relação de ordem “
” que satisfaz certas propriedades, incluindo a transitividade, que é exatamente o que queremos provar.
Passo 3
A transitividade da ordem significa que se
e
, então
. No caso de um corpo ordenado, isso é uma das propriedades fundamentais da relação de ordem definida sobre ele. Portanto, o que precisamos fazer é verificar que essa propriedade realmente se mantém conforme as definições do corpo ordenado.
Passo 4
Vamos assumir que
e
. Segundo a definição de transitividade, precisamos mostrar que, com base nessas duas desigualdades, necessariamente
.
Passo 5
Sabemos que se
, isso significa que
é positivo. Da mesma forma, se
, então
também é positivo. Vamos somar essas duas desigualdades:
Passo 6
Como a soma de dois números positivos (
e
) é positiva, concluímos que
. Isso implica que
, que é exatamente o que queríamos provar.
Resposta
Portanto, em um corpo ordenado
, se
e
, então
.