Seja K um corpo ordenado. Prove as seguintes propriedades:
x > y e y > z => x > z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, em um corpo ordenado K, se e , então necessariamente . Isso faz parte da matéria de Álgebra, especificamente sobre corpos ordenados e suas propriedades. Para resolver isso, vamos usar as definições básicas de um corpo ordenado e a propriedade de transitividade da ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um corpo ordenado. É um conjunto K que é um corpo (ou seja, tem operações de adição e multiplicação bem definidas, com propriedades como comutatividade, associatividade, existência de inversos, etc.) e está equipado com uma relação de ordem “ >” que satisfaz certas propriedades, incluindo a transitividade, que é exatamente o que queremos provar.

Passo 3

A transitividade da ordem significa que se e , então . No caso de um corpo ordenado, isso é uma das propriedades fundamentais da relação de ordem definida sobre ele. Portanto, o que precisamos fazer é verificar que essa propriedade realmente se mantém conforme as definições do corpo ordenado.

Passo 4

Vamos assumir que e . Segundo a definição de transitividade, precisamos mostrar que, com base nessas duas desigualdades, necessariamente .

Passo 5

Sabemos que se , isso significa que é positivo. Da mesma forma, se , então também é positivo. Vamos somar essas duas desigualdades:

Passo 6

Como a soma de dois números positivos ( e ) é positiva, concluímos que . Isso implica que , que é exatamente o que queríamos provar.

Resposta

Portanto, em um corpo ordenado K, se e , então .

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