*Sejam
um número real qualquer fixado e
tais que
. Mostre que existe
tal que
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um número real fixo
e dois números reais
e
onde
. A missão é mostrar que existe um número racional
tal que
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre números racionais e como eles são distribuídos na reta numérica.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a desigualdade que queremos provar:
. Dividindo tudo por
(que é positivo, então a desigualdade não muda de direção), temos:
Agora, nosso objetivo é encontrar um número racional
que esteja entre
e
.
Passo 3
Sabemos que os números racionais (
) são densos nos números reais (
). Isso significa que, entre quaisquer dois números reais diferentes, sempre existe pelo menos um número racional. Aplicando isso ao intervalo
, podemos garantir que existe um
racional dentro desse intervalo.
Passo 4
Então, existe um
tal que:
Multiplicando tudo por
de volta, obtemos:
Portanto, encontramos o número racional
que satisfaz a condição inicial.
Resposta
Existe um número racional
tal que
.