*Sejam a > 0 um número real qualquer fixado e x, y em R tais que x < y. Mostre que existe q in Q tal que x < q a < y.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um número real fixo e dois números reais e onde . A missão é mostrar que existe um número racional tal que . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre números racionais e como eles são distribuídos na reta numérica.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a desigualdade que queremos provar: . Dividindo tudo por (que é positivo, então a desigualdade não muda de direção), temos:
Agora, nosso objetivo é encontrar um número racional que esteja entre e .

Passo 3

Sabemos que os números racionais ( ) são densos nos números reais ( ). Isso significa que, entre quaisquer dois números reais diferentes, sempre existe pelo menos um número racional. Aplicando isso ao intervalo , podemos garantir que existe um racional dentro desse intervalo.

Passo 4

Então, existe um tal que:
Multiplicando tudo por de volta, obtemos:
Portanto, encontramos o número racional que satisfaz a condição inicial.

Resposta

Existe um número racional tal que .

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