Dados dois espaços vetoriais
, considere o produto Cartesiano
de
e
. Mostre que as operações de soma vetorial
e multiplicação escalar
são operações vetoriais em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que, dado dois espaços vetoriais
e
, o produto cartesiano
também é um espaço vetorial quando definimos as operações de soma vetorial e multiplicação por escalar da maneira especificada. Basicamente, vamos precisar revisar os axiomas de um espaço vetorial e verificar se eles são satisfeitos nessas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas que uma estrutura precisa cumprir para ser considerada um espaço vetorial. São eles:
- Associatividade da Soma:
- Comutatividade da Soma:
- Elemento Neutro da Soma (Vetor Zero): Existe um vetor
tal que - Inverso Aditivo: Para todo vetor
, existe um vetor tal que - Compatibilidade com a Multiplicação por Escalar:
- Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Vetores:
- Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Escalares:
- Multiplicação por 1:
Nosso trabalho é verificar se essas regras são verdadeiras para o espaço
com as operações definidas.
Passo 3
1. Associatividade da Soma:
Vamos pegar três vetores quaisquer em
:
Primeiro, somamos
e
:
Agora, somamos com
:
Por associatividade na soma em
e
, isso é igual a:
Que é o mesmo que:
Então, a associatividade da soma é satisfeita em
.
Passo 4
2. Comutatividade da Soma:
Vamos tomar dois vetores quaisquer em
:
E
Como a soma em
e
é comutativa, temos:
Portanto, a comutatividade da soma é valida em
.
Passo 5
3. Elemento Neutro da Soma (Vetor Zero):
No espaço
, queremos encontrar um vetor
tal que:
Como
e
são espaços vetoriais, eles têm vetores zero
e
que satisfazem essas igualdades. Logo,
é o vetor zero em
.
Passo 6
4. Inverso Aditivo:
Para cada vetor
, precisamos encontrar
tal que:
Como
e
têm inversos aditivos, isso garante que cada vetor em
também tem um inverso aditivo.
Passo 7
5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar:
Para escalares
e
e vetor
, temos:
E
Portanto, a compatibilidade é válida.
Passo 8
6. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Vetores:
Para um escalar
e vetores
e
:
Isso é igual a:
Então, a distributividade está satisfeita.
Passo 9
7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Escalares:
Para escalares
e
e vetor
:
E
Logo, essa distributividade também é válida.
Passo 10
8. Multiplicação por 1:
Para qualquer vetor
:
Então, a multiplicação por 1 não altera o vetor, atendendo a esse axioma.
Resposta
Conferimos todos os axiomas necessários e vimos que as operações de soma vetorial e multiplicação por escalar definidas no produto cartesiano
satisfazem as propriedades exigidas para um espaço vetorial. Portanto,
é, de fato, um espaço vetorial com essas operações.