Dados dois espaços vetoriais V1, V2, considere o produto Cartesiano V=V1 times V2 de V1 e V2. Mostre que as operações de soma vetorial (x, y)+(x^prime, y^prime)=(x+x^prime, y+y^prime) e multiplicação escalar lambda(x, y)=(lambda x, lambda y) são operações vetoriais em V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que, dado dois espaços vetoriais e , o produto cartesiano também é um espaço vetorial quando definimos as operações de soma vetorial e multiplicação por escalar da maneira especificada. Basicamente, vamos precisar revisar os axiomas de um espaço vetorial e verificar se eles são satisfeitos nessas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas que uma estrutura precisa cumprir para ser considerada um espaço vetorial. São eles:
  1. Associatividade da Soma:
  2. Comutatividade da Soma:
  3. Elemento Neutro da Soma (Vetor Zero): Existe um vetor tal que
  4. Inverso Aditivo: Para todo vetor , existe um vetor tal que
  5. Compatibilidade com a Multiplicação por Escalar:
  6. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Vetores:
  7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Escalares:
  8. Multiplicação por 1:
Nosso trabalho é verificar se essas regras são verdadeiras para o espaço com as operações definidas.

Passo 3

1. Associatividade da Soma:
Vamos pegar três vetores quaisquer em (u1, u2) + [(v1, v2) + (w1, w2)] :
(v1 + w1, v2 + w2)
Primeiro, somamos (u1 + (v1 + w1), u2 + (v2 + w2)) e ((u1 + v1) + w1, (u2 + v2) + w2) :
(u1, u2) + (v1, v2) + (w1, w2)
Agora, somamos com :
Por associatividade na soma em e , isso é igual a:
Que é o mesmo que:
Então, a associatividade da soma é satisfeita em .

Passo 4

2. Comutatividade da Soma:
Vamos tomar dois vetores quaisquer em (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2) :
(v1, v2) + (u1, u2) = (v1 + u1, v2 + u2)
E
u1 + v1 = v1 + u1 e u2 + v2 = v2 + u2
Como a soma em e é comutativa, temos:
Portanto, a comutatividade da soma é valida em .

Passo 5

3. Elemento Neutro da Soma (Vetor Zero):
No espaço (u1, u2) + (01, 02) = (u1 + 01, u2 + 02) = (u1, u2) , queremos encontrar um vetor tal que:
Como e são espaços vetoriais, eles têm vetores zero e que satisfazem essas igualdades. Logo, é o vetor zero em .

Passo 6

4. Inverso Aditivo:
Para cada vetor (u1, u2) + (-u1, -u2) = (u1 - u1, u2 - u2) = (01, 02) , precisamos encontrar tal que:
Como e têm inversos aditivos, isso garante que cada vetor em também tem um inverso aditivo.

Passo 7

5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar:
Para escalares lambda(mu (u1, u2)) = lambda (mu u1, mu u2) = (lambda mu u1, lambda mu u2) e (lambda mu)(u1, u2) = (lambda mu u1, lambda mu u2) e vetor , temos:
E
Portanto, a compatibilidade é válida.

Passo 8

6. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Vetores:
Para um escalar lambda ( (u1, u2) + (v1, v2) ) = lambda (u1 + v1, u2 + v2) = (lambda (u1 + v1), lambda (u2 + v2)) e vetores (lambda u1, lambda u2) + (lambda v1, lambda v2) = lambda (u1, u2) + lambda (v1, v2) e :
Isso é igual a:
Então, a distributividade está satisfeita.

Passo 9

7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Escalares:
Para escalares (lambda + mu)(u1, u2) = ((lambda + mu)u1, (lambda + mu)u2) e lambda (u1, u2) + mu (u1, u2) = (lambda u1, lambda u2) + (mu u1, mu u2) = ((lambda + mu)u1, (lambda + mu)u2) e vetor :
E
Logo, essa distributividade também é válida.

Passo 10

8. Multiplicação por 1:
Para qualquer vetor 1 cdot (u1, u2) = (1 cdot u1, 1 cdot u2) = (u1, u2) :
Então, a multiplicação por 1 não altera o vetor, atendendo a esse axioma.

Resposta

Conferimos todos os axiomas necessários e vimos que as operações de soma vetorial e multiplicação por escalar definidas no produto cartesiano satisfazem as propriedades exigidas para um espaço vetorial. Portanto, é, de fato, um espaço vetorial com essas operações.

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