4 Encontre os vetores u, v in R^4 tais que as componentes de u sejam todas iguais, a última componente de v é igual a 3 e u+v=(1,2,3,4).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar dois vetores, e , que pertencem ao espaço (ou seja, vetores com quatro componentes). As condições são:
Todas as componentes de são iguais.
A última componente de é igual a 3.
A soma de e resulta no vetor .
Vamos usar conceitos de álgebra vetorial para resolver isso, especificamente a ideia de equações vetoriais e componentes de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar de , já que todas as suas componentes são iguais a .
Passo 3
Agora, sabemos que o último componente de é 3. Vamos chamar de , onde , e são as outras componentes que ainda precisamos descobrir.
Passo 4
A soma dos vetores u + v = (1, 2, 3, 4) e (x, x, x, x) + (y, z, w, 3) = (1, 2, 3, 4) deve ser igual a . Então, podemos escrever a seguinte equação vetorial:
Substituindo e :
Passo 5
Vamos somar componente a componente:
x + y = 1 x + z = 2 x + w = 3 x + 3 = 4
Passo 6
Começando pela última equação para encontrar x + 3 = 4 implies x = 1 :
Passo 7
Agora que sabemos que , vamos substituir nas outras equações: