O espaço Mm times n(R) das matrizes com m linhas, n colunas e entradas reais
A & =[ccc a11 & cdots & a1 n vdots & ddots & vdots am 1 & cdots & am n ], ai j & in R, i=1, ldots, m, j=1, ldots, n
é um espaço vetorial (real) se imbuído das operações
vetoriais A=[ccca11 & cdots & a1 n vdots & ddots & vdots am 1 & cdots & am n], B=[cccb11 & cdots & b1 n vdots & ddots & vdots bm 1 & cdots & bm n],
então
A+B & =[ccc a11+b11 & cdots & a1 n+b1 n vdots & ddots & vdots am 1+bm 1 & cdots & am n+bm n ] alpha A & =[ccc alpha a11 & cdots & alpha a1 n vdots & ddots & vdots alpha am 1 & cdots & alpha am n ]
Dadas as matrizes 2 times 3 A, B, C in M2 times 3(R)
& A=[ccc 1 & -1 & 2 3 & 2 & -1 ], B=[ccc 2 & 3 & 0 -2 & -3 & 1 ], & C=[ccc -4 & -8 & 4 12 & 13 & 1 ],
4 Encontre os vetores u, v in R^4 tais que as componentes de u sejam todas iguais, a última componente de v é igual a 3 e u+v=(1,2,3,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar dois vetores, e , que pertencem ao espaço (ou seja, vetores com quatro componentes). As condições são:
  1. Todas as componentes de são iguais.
  2. A última componente de é igual a 3.
  3. A soma de e resulta no vetor .
Vamos usar conceitos de álgebra vetorial para resolver isso, especificamente a ideia de equações vetoriais e componentes de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar de , já que todas as suas componentes são iguais a .

Passo 3

Agora, sabemos que o último componente de é 3. Vamos chamar de , onde , e são as outras componentes que ainda precisamos descobrir.

Passo 4

A soma dos vetores u + v = (1, 2, 3, 4) e (x, x, x, x) + (y, z, w, 3) = (1, 2, 3, 4) deve ser igual a . Então, podemos escrever a seguinte equação vetorial:
Substituindo e :

Passo 5

Vamos somar componente a componente:
x + y = 1 x + z = 2 x + w = 3 x + 3 = 4

Passo 6

Começando pela última equação para encontrar x + 3 = 4 implies x = 1 :

Passo 7

Agora que sabemos que , vamos substituir nas outras equações:

Resposta

Os vetores que atendem às condições são:
u = (1, 1, 1, 1) e v = (0, 1, 2, 3)

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