Mostre que não existem escalares reais alpha, beta, gamma tais que alpha(1,0,1,0)+beta(1,0,-2,1)+ gamma(2,0,1,2)=(1,-2,2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos mostrar que não existem números reais alpha(1,0,1,0) + beta(1,0,-2,1) + gamma(2,0,1,2) = (1,-2,2,3) , e que satisfaçam a seguinte combinação linear:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de sistemas de equações lineares e combinação linear de vetores. O que a gente vai precisar é montar um sistema de equações a partir dessa combinação e ver se ele tem solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa combinação linear significa. Básicamente, estamos tentando encontrar valores de alpha cdot 1 + beta cdot 1 + gamma cdot 2 = 1 , alpha cdot 0 + beta cdot 0 + gamma cdot 0 = -2 e alpha cdot 1 + beta cdot (-2) + gamma cdot 1 = 2 que, quando multiplicados pelos vetores dados e somados, resultem no vetor alpha cdot 0 + beta cdot 1 + gamma cdot 2 = 3 .
Vamos escrever isso componente por componente:
  1. Primeira componente:
    alpha + beta + 2gamma = 1 0alpha + 0beta + 0gamma = -2 alpha - 2beta + gamma = 2 0alpha + beta + 2gamma = 3
  2. Segunda componente:
  3. Terceira componente:
  4. Quarta componente:
Agora, temos um sistema de quatro equações com três incógnitas:

Passo 3

Vamos analisar esse sistema. Observa a segunda equação:
0alpha + 0beta + 0gamma = -2
Isso simplifica para:
0 = -2
O que a gente sabe que não faz sentido, né? Zero nunca vai ser igual a menos dois. Isso significa que o sistema é inconsistente, ou seja, não tem solução.

Resposta

Não existem números reais , e que satisfaçam a combinação linear dada.

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