O espaço
das matrizes com
linhas,
colunas e entradas reais
é um espaço vetorial (real) se imbuído das operações
vetoriais
A=[ccca11 & cdots & a1 n vdots & ddots & vdots am 1 & cdots & am n], B=[cccb11 & cdots & b1 n vdots & ddots & vdots bm 1 & cdots & bm n] ,
então
A+B & =[ccc a11+b11 & cdots & a1 n+b1 n vdots & ddots & vdots am 1+bm 1 & cdots & am n+bm n ] alpha A & =[ccc alpha a11 & cdots & alpha a1 n vdots & ddots & vdots alpha am 1 & cdots & alpha am n ]
Dadas as matrizes
2 times 3 A, B, C in M2 times 3(R)
& A=[ccc 1 & -1 & 2 3 & 2 & -1 ], B=[ccc 2 & 3 & 0 -2 & -3 & 1 ], & C=[ccc -4 & -8 & 4 12 & 13 & 1 ],
b.) Encontre números reais
alpha, beta diferentes de zero tais que
alpha A+beta B+C tenha a primeira coluna só com zeros.
vetoriais
então
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos três matrizes
,
e
de dimensão
. A questão pede para encontrarmos números reais
e
diferentes de zero, de modo que, quando formos fazer a combinação linear
, a primeira coluna dessa nova matriz seja composta somente por zeros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinação linear e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as matrizes dadas:
Queremos que a primeira coluna de
alpha Acol1 + beta Bcol1 + Ccol1 = alpha cdot 1 + beta cdot 2 + (-4) alpha cdot 3 + beta cdot (-2) + 12 = 0 0 seja zero. Vamos focar nas primeiras colunas das matrizes:
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
alpha + 2beta = 4 (1) e
3alpha - 2beta = -12 (2) .
Primeira equação:
Segunda equação:
Podemos somar as duas equações para eliminar
:
Agora, substituímos
na equação (1):
Resposta
Os valores são
e
. Assim,
terá a primeira coluna composta apenas por zeros.