O espaço Mm times n(R) das matrizes com m linhas, n colunas e entradas reais
A & =[ccc a11 & cdots & a1 n vdots & ddots & vdots am 1 & cdots & am n ], ai j & in R, i=1, ldots, m, j=1, ldots, n
é um espaço vetorial (real) se imbuído das operações
vetoriais A=[ccca11 & cdots & a1 n vdots & ddots & vdots am 1 & cdots & am n], B=[cccb11 & cdots & b1 n vdots & ddots & vdots bm 1 & cdots & bm n],
então
A+B & =[ccc a11+b11 & cdots & a1 n+b1 n vdots & ddots & vdots am 1+bm 1 & cdots & am n+bm n ] alpha A & =[ccc alpha a11 & cdots & alpha a1 n vdots & ddots & vdots alpha am 1 & cdots & alpha am n ]
Dadas as matrizes 2 times 3 A, B, C in M2 times 3(R)
& A=[ccc 1 & -1 & 2 3 & 2 & -1 ], B=[ccc 2 & 3 & 0 -2 & -3 & 1 ], & C=[ccc -4 & -8 & 4 12 & 13 & 1 ],
b.) Encontre números reais alpha, beta diferentes de zero tais que alpha A+beta B+C tenha a primeira coluna só com zeros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três matrizes , e de dimensão . A questão pede para encontrarmos números reais e diferentes de zero, de modo que, quando formos fazer a combinação linear , a primeira coluna dessa nova matriz seja composta somente por zeros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinação linear e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as matrizes dadas:
A = 1 & -1 & 2 3 & 2 & -1 , B = 2 & 3 & 0 -2 & -3 & 1 , C = -4 & -8 & 4 12 & 13 & 1
Queremos que a primeira coluna de alpha Acol1 + beta Bcol1 + Ccol1 = alpha cdot 1 + beta cdot 2 + (-4) alpha cdot 3 + beta cdot (-2) + 12 = 0 0 seja zero. Vamos focar nas primeiras colunas das matrizes:
alpha + 2beta - 4 = 0 3alpha - 2beta + 12 = 0
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de alpha + 2beta = 4 (1) e 3alpha - 2beta = -12 (2) .
Primeira equação:
(alpha + 2beta) + (3alpha - 2beta) = 4 + (-12) Rightarrow 4alpha = -8 Rightarrow alpha = -2
Segunda equação:
-2 + 2beta = 4 Rightarrow 2beta = 6 Rightarrow beta = 3
Podemos somar as duas equações para eliminar :
Agora, substituímos na equação (1):

Resposta

Os valores são e . Assim, terá a primeira coluna composta apenas por zeros.

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