Dados dois espaços vetoriais , considere o produto Cartesiano de e . Mostre que as operações de soma vetorial e multiplicação escalar são operações vetoriais em : A prova é igual à do caso em que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de espaços vetoriais! A gente tem dois espaços vetoriais, e , e está considerando o produto cartesiano . A tarefa é mostrar que as operações de soma vetorial e multiplicação escalar definidas aí são realmente operações válidas em . Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades que definem um espaço vetorial e aplicá-las nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto cartesiano de dois espaços vetoriais. O produto consiste em pares ordenados , onde e . A gente precisa definir como somar esses pares e como multiplicar por um escalar.
Passo 3
A soma vetorial em está definida como:
Isso significa que somamos as componentes correspondentes dos pares.
Passo 4
A multiplicação escalar em está definida como:
Aqui, multiplicamos cada componente do par pelo escalar .
Passo 5
Agora, para mostrar que essas operações formam um espaço vetorial, precisamos verificar se todas as propriedades dos espaços vetoriais são satisfeitas. Essas propriedades incluem:
Comutatividade da soma.
Associatividade da soma.
Existência de elemento neutro (vetor zero).
Existência de inversos aditivos.
Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma vetorial.
Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares.
Associatividade da multiplicação escalar.
Existência do elemento neutro para a multiplicação escalar.
Passo 6
Vamos verificar cada uma dessas propriedades:
Comutatividade da soma:
Isso mostra que a soma é comutativa.
Associatividade da soma:
Assim, a soma é associativa.
Elemento neutro:
O vetor zero em é , onde é o vetor zero em e . Temos:
Inverso aditivo:
Para cada , existe tal que:
Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma vetorial:
Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares:
Associatividade da multiplicação escalar:
Elemento neutro para a multiplicação escalar:
Resposta
Assim, todas as operações definidas satisfazem as propriedades necessárias, garantindo que com as operações de soma e multiplicação escalar dadas é de fato um espaço vetorial.