Dados dois espaços vetoriais
, considere o produto Cartesiano
de
e
. Mostre que as operações de soma vetorial
e multiplicação escalar
são operações vetoriais em
: A prova é igual à do caso em que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de espaços vetoriais! A gente tem dois espaços vetoriais,
e
, e está considerando o produto cartesiano
. A tarefa é mostrar que as operações de soma vetorial e multiplicação escalar definidas aí são realmente operações válidas em
. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades que definem um espaço vetorial e aplicá-las nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto cartesiano de dois espaços vetoriais. O produto
consiste em pares ordenados
, onde
e
. A gente precisa definir como somar esses pares e como multiplicar por um escalar.
Passo 3
A soma vetorial em
está definida como:
Isso significa que somamos as componentes correspondentes dos pares.
Passo 4
A multiplicação escalar em
está definida como:
Aqui, multiplicamos cada componente do par pelo escalar
Passo 5
Agora, para mostrar que essas operações formam um espaço vetorial, precisamos verificar se todas as propriedades dos espaços vetoriais são satisfeitas. Essas propriedades incluem:
- Comutatividade da soma.
- Associatividade da soma.
- Existência de elemento neutro (vetor zero).
- Existência de inversos aditivos.
- Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma vetorial.
- Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares.
- Associatividade da multiplicação escalar.
- Existência do elemento neutro para a multiplicação escalar.
Passo 6
Vamos verificar cada uma dessas propriedades:
-
Comutatividade da soma:
Isso mostra que a soma é comutativa. -
Associatividade da soma:
Assim, a soma é associativa. -
Elemento neutro:
O vetor zero emé , onde é o vetor zero em e . Temos: -
Inverso aditivo:
Para cada, existe tal que: -
Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma vetorial:
-
Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares:
-
Associatividade da multiplicação escalar:
-
Elemento neutro para a multiplicação escalar:
Resposta
Assim, todas as operações definidas satisfazem as propriedades necessárias, garantindo que
com as operações de soma e multiplicação escalar dadas é de fato um espaço vetorial.