Dados dois espaços vetoriais V1, V2, considere o produto Cartesiano V=V1 times V2 de V1 e V2. Mostre que as operações de soma vetorial (x, y)+(x^prime, y^prime)=(x+x^prime, y+y^prime) e multiplicação escalar lambda(x, y)=(lambda x, lambda y) são operações vetoriais em V: A prova é igual à do caso em que V1=V2=R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de espaços vetoriais! A gente tem dois espaços vetoriais, V1 e V2, e está considerando o produto cartesiano V = V1 times V2. A tarefa é mostrar que as operações de soma vetorial e multiplicação escalar definidas aí são realmente operações válidas em V. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades que definem um espaço vetorial e aplicá-las nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto cartesiano de dois espaços vetoriais. O produto V = V1 times V2 consiste em pares ordenados (x, y), onde x in V1 e y in V2. A gente precisa definir como somar esses pares e como multiplicar por um escalar.

Passo 3

A soma vetorial em V está definida como:
(x, y) + (x', y') = (x + x', y + y')
Isso significa que somamos as componentes correspondentes dos pares.

Passo 4

A multiplicação escalar em V está definida como:
lambda (x, y) = (lambda x, lambda y)
Aqui, multiplicamos cada componente do par pelo escalar lambda.

Passo 5

Agora, para mostrar que essas operações formam um espaço vetorial, precisamos verificar se todas as propriedades dos espaços vetoriais são satisfeitas. Essas propriedades incluem:
  1. Comutatividade da soma.
  2. Associatividade da soma.
  3. Existência de elemento neutro (vetor zero).
  4. Existência de inversos aditivos.
  5. Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma vetorial.
  6. Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares.
  7. Associatividade da multiplicação escalar.
  8. Existência do elemento neutro para a multiplicação escalar.

Passo 6

Vamos verificar cada uma dessas propriedades:
  1. Comutatividade da soma:
    (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y') = (x' + x, y' + y) = (x', y') + (x, y)
    Isso mostra que a soma é comutativa.
  2. Associatividade da soma:
    [(x, y) + (x', y')] + (x'', y'') = (x + x' + x'', y + y' + y'') = (x, y) + [(x', y') + (x'', y'')]
    Assim, a soma é associativa.
  3. Elemento neutro:
    O vetor zero em V é (0, 0), onde 0 é o vetor zero em V1 e V2. Temos:
    (x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y)
  4. Inverso aditivo:
    Para cada (x, y), existe (-x, -y) tal que:
    (x, y) + (-x, -y) = (0, 0)
  5. Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma vetorial:
    lambda [(x, y) + (x', y')] = lambda (x + x', y + y') = (lambda(x + x'), lambda(y + y')) = (lambda x + lambda x', lambda y + lambda y') = lambda (x, y) + lambda (x', y')
  6. Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares:
    (lambda + mu)(x, y) = ((lambda + mu)x, (lambda + mu)y) = (lambda x + mu x, lambda y + mu y) = lambda (x, y) + mu (x, y)
  7. Associatividade da multiplicação escalar:
    lambda (mu (x, y)) = lambda (mu x, mu y) = (lambda mu x, lambda mu y) = (lambda mu) (x, y)
  8. Elemento neutro para a multiplicação escalar:
    1 (x, y) = (1 cdot x, 1 cdot y) = (x, y)

Resposta

Assim, todas as operações definidas satisfazem as propriedades necessárias, garantindo que V = V1 times V2 com as operações de soma e multiplicação escalar dadas é de fato um espaço vetorial.

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