Dados dois espaços vetoriais , considere o produto Cartesiano de e . Mostre que as operações de soma vetorial e multiplicação escalar são operações vetoriais em : A prova é igual à do caso em que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de espaços vetoriais! A gente tem dois espaços vetoriais, e , e está considerando o produto cartesiano . A tarefa é mostrar que as operações de soma vetorial e multiplicação escalar definidas aí são realmente operações válidas em . Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades que definem um espaço vetorial e aplicá-las nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto cartesiano de dois espaços vetoriais. O produto consiste em pares ordenados , onde e . A gente precisa definir como somar esses pares e como multiplicar por um escalar.

Passo 3

A soma vetorial em está definida como:

Isso significa que somamos as componentes correspondentes dos pares.

Passo 4

A multiplicação escalar em está definida como:

Aqui, multiplicamos cada componente do par pelo escalar .

Passo 5

Agora, para mostrar que essas operações formam um espaço vetorial, precisamos verificar se todas as propriedades dos espaços vetoriais são satisfeitas. Essas propriedades incluem:
  1. Comutatividade da soma.
  2. Associatividade da soma.
  3. Existência de elemento neutro (vetor zero).
  4. Existência de inversos aditivos.
  5. Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma vetorial.
  6. Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares.
  7. Associatividade da multiplicação escalar.
  8. Existência do elemento neutro para a multiplicação escalar.

Passo 6

Vamos verificar cada uma dessas propriedades:
  1. Comutatividade da soma:

    Isso mostra que a soma é comutativa.
  2. Associatividade da soma:

    Assim, a soma é associativa.
  3. Elemento neutro:
    O vetor zero em é , onde é o vetor zero em e . Temos:
  4. Inverso aditivo:
    Para cada , existe tal que:
  5. Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma vetorial:
  6. Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares:
  7. Associatividade da multiplicação escalar:
  8. Elemento neutro para a multiplicação escalar:

Resposta

Assim, todas as operações definidas satisfazem as propriedades necessárias, garantindo que com as operações de soma e multiplicação escalar dadas é de fato um espaço vetorial.

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São listados nos itens abaixo conjuntos munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em : O axioma falha.
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