O espaço das matrizes com linhas, colunas e entradas reais é um espaço vetorial (real) se imbuído das operações vetoriais
Dadas as matrizes

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o espaço , que é o conjunto de todas as matrizes com linhas, colunas e entradas reais. A questão quer mostrar que esse conjunto forma um espaço vetorial quando usamos as operações de adição de matrizes e multiplicação por escalar, que foram definidas no enunciado. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se todas as propriedades necessárias são satisfeitas nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre o corpo dos números reais é um conjunto junto com duas operações: adição e multiplicação por escalar, que satisfazem oito axiomas fundamentais, como comutatividade, associatividade, existência do elemento neutro, entre outros.
No nosso caso, o conjunto é , a adição é feita elemento a elemento:
E a multiplicação por escalar é:

Passo 3

Agora, vamos verificar cada um dos oito axiomas para confirmar se realmente é um espaço vetorial.
  1. Comutatividade da adição:
    Como a adição é elemento a elemento e a adição de números reais é comutativa ( ), então .
  2. Associatividade da adição:
    Novamente, pela associatividade dos números reais, a ordem de adição não altera o resultado.
  3. Elemento neutro da adição: Existe uma matriz zero tal que
    A matriz onde todos os elementos são zero funciona como elemento neutro.
  4. Elemento inverso da adição: Para todo , existe tal que
    Basta multiplicar cada elemento de por .
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar:
    Multiplicar por e depois por é o mesmo que multiplicar diretamente por .
  6. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
    Multiplicar por 1 não altera a matriz.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
    Distribuir em cada elemento da soma é o mesmo que somar as matrizes resultantes da multiplicação por .
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
    Similarmente, distribuir a soma dos escalares em cada elemento da matriz resulta na soma das matrizes multiplicadas individualmente.

Passo 4

Como todas as oito propriedades estão satisfeitas com as operações definidas, podemos concluir que é, de fato, um espaço vetorial sobre os números reais.

Resposta

Portanto, o espaço com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas é um espaço vetorial.

Exercícios relacionados

São listados nos itens abaixo conjuntos munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em : O axioma (e) falha.
Verificar se os operador linear é diagonalizável. Caso seja, determinar as matrizes e que diagonaliza e escreva o operador diagonalizado ( T na base P ).
São listados nos itens abaixo conjuntos munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em : O axioma falha.
Dados dois espaços vetoriais , considere o produto Cartesiano de e . Mostre que as operações de soma vetorial e multiplicação escalar são operações vetoriais em : A prova é igual à do caso em que .