O espaço das matrizes com linhas, colunas e entradas reais é um espaço vetorial (real) se imbuído das operações vetoriais
Dadas as matrizes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o espaço , que é o conjunto de todas as matrizes com linhas, colunas e entradas reais. A questão quer mostrar que esse conjunto forma um espaço vetorial quando usamos as operações de adição de matrizes e multiplicação por escalar, que foram definidas no enunciado. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se todas as propriedades necessárias são satisfeitas nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre o corpo dos números reais é um conjunto junto com duas operações: adição e multiplicação por escalar, que satisfazem oito axiomas fundamentais, como comutatividade, associatividade, existência do elemento neutro, entre outros.
No nosso caso, o conjunto é , a adição é feita elemento a elemento:
E a multiplicação por escalar é:
Passo 3
Agora, vamos verificar cada um dos oito axiomas para confirmar se realmente é um espaço vetorial.
Comutatividade da adição:
Como a adição é elemento a elemento e a adição de números reais é comutativa (), então .
Associatividade da adição:
Novamente, pela associatividade dos números reais, a ordem de adição não altera o resultado.
Elemento neutro da adição: Existe uma matriz zero tal que
A matriz onde todos os elementos são zero funciona como elemento neutro.
Elemento inverso da adição: Para todo , existe tal que
Basta multiplicar cada elemento de por .
Compatibilidade da multiplicação por escalar:
Multiplicar por e depois por é o mesmo que multiplicar diretamente por .
Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Multiplicar por 1 não altera a matriz.
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Distribuir em cada elemento da soma é o mesmo que somar as matrizes resultantes da multiplicação por .
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Similarmente, distribuir a soma dos escalares em cada elemento da matriz resulta na soma das matrizes multiplicadas individualmente.
Passo 4
Como todas as oito propriedades estão satisfeitas com as operações definidas, podemos concluir que é, de fato, um espaço vetorial sobre os números reais.
Resposta
Portanto, o espaço com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas é um espaço vetorial.