O espaço Mm times n(R) das matrizes com m linhas, n colunas e entradas reais é um espaço vetorial (real) se imbuído das operações vetoriais A+B & =[ccc a11+b11 & cdots & a1 n+b1 n vdots & ddots & vdots am 1+bm 1 & cdots & am n+bm n
Dadas as matrizes ccc alpha a11 & cdots & alpha a1 n vdots & ddots & vdots alpha am 1 & cdots & alpha am n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o espaço , que é o conjunto de todas as matrizes com linhas, colunas e entradas reais. A questão quer mostrar que esse conjunto forma um espaço vetorial quando usamos as operações de adição de matrizes e multiplicação por escalar, que foram definidas no enunciado. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se todas as propriedades necessárias são satisfeitas nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre o corpo dos números reais é um conjunto junto com duas operações: adição e multiplicação por escalar, que satisfazem oito axiomas fundamentais, como comutatividade, associatividade, existência do elemento neutro, entre outros.
No nosso caso, o conjunto é A + B = a11 + b11 & cdots & a1n + b1n vdots & ddots & vdots am1 + bm1 & cdots & amn + bmn , a adição é feita elemento a elemento:
alpha A = alpha a11 & cdots & alpha a1n vdots & ddots & vdots alpha am1 & cdots & alpha amn
E a multiplicação por escalar é:

Passo 3

Agora, vamos verificar cada um dos oito axiomas para confirmar se realmente é um espaço vetorial.
  1. Comutatividade da adição:
    Como a adição é elemento a elemento e a adição de números reais é comutativa ( ), então .
  2. Associatividade da adição:
    Novamente, pela associatividade dos números reais, a ordem de adição não altera o resultado.
  3. Elemento neutro da adição: Existe uma matriz zero tal que
    A matriz onde todos os elementos são zero funciona como elemento neutro.
  4. Elemento inverso da adição: Para todo , existe tal que
    Basta multiplicar cada elemento de por .
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar:
    Multiplicar por e depois por é o mesmo que multiplicar diretamente por .
  6. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
    Multiplicar por 1 não altera a matriz.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
    Distribuir em cada elemento da soma é o mesmo que somar as matrizes resultantes da multiplicação por .
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
    Similarmente, distribuir a soma dos escalares em cada elemento da matriz resulta na soma das matrizes multiplicadas individualmente.

Passo 4

Como todas as oito propriedades estão satisfeitas com as operações definidas, podemos concluir que é, de fato, um espaço vetorial sobre os números reais.

Resposta

Portanto, o espaço com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas é um espaço vetorial.

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