São listados nos itens abaixo conjuntos munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em : O axioma falha.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente analisar alguns conjuntos que têm operações de soma vetorial e multiplicação escalar definidas. A missão é descobrir quais desses conjuntos têm essas operações bem definidas para todos os elementos de e quais deles satisfazem os axiomas de um espaço vetorial real. Se algum conjunto não for um espaço vetorial, precisamos justificar o porquê, mostrando que pelo menos um dos axiomas falha, especificamente o axioma .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter operações bem definidas. Isso quer dizer que, ao somar ou multiplicar vetores dentro do conjunto , a gente sempre obtém outro elemento que também está em . Sem isso, as operações não fazem sentido dentro do conjunto.
Passo 3
Agora, sobre os axiomas de um espaço vetorial. São várias regras que precisam ser satisfeitas para que um conjunto com essas operações seja considerado um espaço vetorial. Entre esses axiomas, o que o enunciado destacou é o axioma , que trata da associatividade da multiplicação escalar. Esse axioma diz que multiplicar um vetor por um escalar composto por dois outros escalares é o mesmo que multiplicar os escalares primeiro e depois o vetor:
Passo 4
Vamos verificar se esse axioma está sendo satisfeito nos conjuntos que estamos analisando. Se encontrarmos um caso onde isso não acontece, já sabemos que aquele conjunto não pode ser um espaço vetorial.
Passo 5
Além disso, precisamos checar os demais axiomas, como a existência de um vetor nulo, existência de inversos aditivos, distributividade da soma e da multiplicação escalar, entre outros. Cada um desses axiomas garante que o conjunto se comporte de maneira consistente com as propriedades que esperamos de um espaço vetorial.
Passo 6
Se em algum dos conjuntos as operações de soma ou multiplicação não forem bem definidas, ou se algum dos axiomas não for obedecido (como o ), então aquele conjunto não pode ser considerado um espaço vetorial.
Resposta
Então, resumindo, para cada conjunto listado, a gente deve:
Verificar se a soma vetorial e a multiplicação escalar sempre resultam em elementos dentro de .
Checar se todos os axiomas de um espaço vetorial real são satisfeitos, especialmente o axioma .
Se algum axioma falhar ou as operações não forem bem definidas, concluir que aquele conjunto não é um espaço vetorial, justificando o motivo.
No caso específico mencionado, o axioma falha, o que significa que o conjunto analisado não satisfaz todos os axiomas necessários para ser um espaço vetorial.