São listados nos itens abaixo conjuntos munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em : O axioma (h) falha.

Passo 1

Então, vamos lá! Primeiro, o que a questão está pedindo? Temos alguns conjuntos com operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Precisamos descobrir quais desses conjuntos têm essas operações bem definidas para todos os elementos, ou seja, que sempre resultam em elementos que também estão em . Além disso, devemos verificar quais desses conjuntos satisfazem os axiomas de um espaço vetorial real.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer os axiomas que definem um espaço vetorial e entender como as operações de soma e multiplicação estão funcionando em cada conjunto . Se um conjunto não satisfizer algum desses axiomas ou se as operações não estiverem bem definidas, ele não será um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidamente quais são os axiomas de um espaço vetorial. São eles:
  1. Comutatividade da soma:
  2. Associatividade da soma:
  3. Elemento neutro da soma: Existe um vetor tal que para todo
  4. Elemento inverso da soma: Para todo , existe tal que
  5. Compatibilidade da multiplicação escalar com a adição de escalares:
  6. Distribuição da multiplicação escalar sobre a soma de vetores:
  7. Distribuição da multiplicação escalar sobre a soma de escalares:
  8. Elemento neutro da multiplicação escalar:
A questão menciona que o axioma (h), que é , falha em alguns casos. Vamos ver como isso acontece.

Passo 3

Vamos considerar um exemplo onde é um conjunto de vetores e analisaremos se o axioma é válido.
Suponha que seja o conjunto dos vetores onde a multiplicação escalar não preserva o vetor original quando multiplicamos por 1. Por exemplo, imagine que a multiplicação por escalar é definida de forma diferente, como .
Nesse caso, se tomarmos , temos:
Aqui, o axioma é satisfeito. Mas se a definição da multiplicação escalar for, por exemplo, , então:
Nesse caso, o axioma falha porque a multiplicação por 1 não retorna o próprio vetor , mas sim .
Isso mostra que se a operação de multiplicação escalar não for definida de forma que para todo , então o conjunto com essas operações não será um espaço vetorial.

Passo 4

Agora, vamos resumir o que vimos:
  1. Para um conjunto com operações de soma vetorial e multiplicação escalar ser um espaço vetorial, todas as operações devem estar bem definidas, ou seja, somar ou escalar quaisquer elementos de deve resultar em outro elemento de .
  2. Além disso, todas as propriedades (axiomas) de um espaço vetorial devem ser satisfeitas.
  3. No caso específico do axioma , se a multiplicação escalar não retornar o próprio vetor quando multiplicamos por 1, então esse axioma falha, e não é um espaço vetorial.

Resposta

Portanto, os conjuntos que não satisfazem o axioma ou que possuem operações de soma ou multiplicação escalar que não estão bem definidas para todos os elementos de não são espaços vetoriais. Apenas os conjuntos onde todas as operações estão bem definidas e todos os axiomas, incluindo , são satisfeitos são espaços vetoriais reais.

Exercícios relacionados

Dados dois espaços vetoriais , considere o produto Cartesiano de e . Mostre que as operações de soma vetorial e multiplicação escalar são operações vetoriais em : A prova é igual à do caso em que .
São listados nos itens abaixo conjuntos munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em : O axioma falha.
São listados nos itens abaixo conjuntos munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em : Os axiomas (a) (b) falham.
São listados nos itens abaixo conjuntos munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em : O axioma (f) falha.