Decomponha cada um dos polinômios abaixo em fatores de primeiro grau:
P(z) = z^4 - (1 - i) z^2 - i

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para decompor o polinômio em fatores de primeiro grau. Isso faz parte da matéria de Álgebra, especificamente no estudo de polinômios e fatoração. Para isso, vamos precisar encontrar as raízes do polinômio e usar a relação entre raízes e fatores.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar o polinômio para facilitar a fatoração. Observamos que o polinômio é de quarto grau, o que significa que ele pode ter até quatro raízes (reais ou complexas). Vamos fazer uma substituição para facilitar: seja . Assim, o polinômio fica:

Passo 3

Agora, temos uma equação quadrática em termos de . Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Primeiro, calculamos o discriminante:
Então, as soluções para são:

Passo 4

Precisamos encontrar a raiz quadrada de . Vamos representar na forma polar para facilitar:
A raiz quadrada de será:
Então, as soluções para ficam:

Passo 5

Vamos considerar as duas possibilidades:
  1. Com o sinal positivo:
  1. Com o sinal negativo:
Então, temos e . Lembrando que , vamos voltar para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Para encontrar , novamente usamos a forma polar:
A raiz quadrada será:
Portanto, as raízes são:

Passo 7

Agora que temos todas as raízes, podemos escrever o polinômio em fatores de primeiro grau:

Resposta

A decomposição do polinômio em fatores de primeiro grau é:

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