Dados dois números reais
e
, se
então
? Justifique.
Passo 1
Vamos analisar a questão: “Dados dois números reais
e
, se
então
?”. O conteúdo envolvido aqui é o estudo das desigualdades e funções quadráticas. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento dos números negativos e positivos afeta o resultado da elevação ao quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar os diferentes casos em que os números
e
podem estar: ambos positivos, ambos negativos, ou um positivo e o outro negativo. Cada situação pode influenciar de forma diferente a relação entre
e
.
Passo 3
Caso 1: Ambos
e
são positivos.
Se e ambos são positivos, ao elevar ao quadrado, a desigualdade
se mantém, porque a função quadrática é crescente para números positivos.
Se
Caso 2: Ambos
e
são negativos.
Aqui, mesmo que , ao elevar ao quadrado, os números se tornam positivos e a desigualdade se inverte. Por exemplo, se
e
, então
, mas
.
Aqui, mesmo que
Caso 3: Um número é negativo e o outro é positivo.
Se for negativo e
for positivo,
sempre será verdadeiro. Porém, ao elevar ao quadrado,
será positivo e possivelmente maior que
. Por exemplo,
e
, então
, mas
.
Se
Passo 4
Além disso, se
e
, então
e
. No entanto, se
e
,
.
Resposta
Portanto, a afirmação "se
então
" não é sempre verdadeira para todos os números reais
e
. Depende dos valores específicos de
e
, especialmente se são positivos ou negativos.
Exercícios relacionados
Verifique se as identidades são verdadeiras:
.
Esboce os gráficos das funções a seguir:
dada por
.
resolva as inequações:
.
Esboce os gráficos das funções:
dada por
.