resolva as inequações:
.
Passo 1
Ok, vamos resolver a inequação
. Aqui, estamos trabalhando com álgebra, mais especificamente com inequações racionais. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde o numerador e o denominador são iguais a zero e analisar os sinais dessas partes para descobrir onde a fração é menor ou igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores de
que tornam o numerador igual a zero. Ou seja, vamos resolver a equação
. Isso é uma equação quadrática, e podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo esses valores:
Então, as raízes do numerador são
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
que tornam o denominador igual a zero, ou seja, resolver
:
Esse valor de
é importante porque a função não está definida quando o denominador é zero.
Passo 4
Com os valores críticos encontrados (
,
e
), vamos dividir a linha dos números reais em intervalos para analisar os sinais da fração:
Passo 5
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e verificar o sinal da fração
:
-
Intervalo
: - Escolha
: - Numerador:
(positivo) - Denominador:
(negativo) - Fração: positivo / negativo = negativo
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
: - Numerador:
(positivo) - Denominador:
(negativo) - Fração: positivo / negativo = negativo
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
: - Numerador:
(negativo) - Denominador:
(positivo) - Fração: negativo / positivo = negativo
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
: - Numerador:
(positivo) - Denominador:
(positivo) - Fração: positivo / positivo = positivo
- Escolha
Passo 6
Agora, sabemos onde a fração é negativa ou positiva. A inequação
busca os valores de
onde a fração é menor ou igual a zero, ou seja, negativa ou igual a zero.
Considerando os intervalos:
- Nos intervalos 1, 2 e 3, a fração é negativa.
- No intervalo 4, a fração é positiva.
- Além disso, a fração é igual a zero quando o numerador é zero, ou seja, em
e . - A fração não está definida em
.
Resposta
A solução da inequação é todo
no intervalo
.
Exercícios relacionados
Dados dois números reais
e
, se
então
? Justifique.
Verifique se as identidades são verdadeiras:
.
Esboce os gráficos das funções:
dada por
.
Sabendo que para quaisquer
valem
,
e
; mostre as identidades a seguir:
.