Dados dois vetores,
, prove que o produto vetorial a b é dado, em termos das componentes, por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e , cada um com componentes nas direções , e . O exercício pede para provar que o produto vetorial pode ser escrito em termos das componentes desses vetores de uma maneira específica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o produto vetorial e como calculá-lo usando as componentes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional resulta em um terceiro vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais. A fórmula geral para calcular o produto vetorial usando as componentes dos vetores é baseada no determinante de uma matriz.

Passo 3

Vamos montar uma matriz onde a primeira linha são os vetores unitários , a segunda linha são as componentes do vetor ( ) e a terceira linha são as componentes do vetor ( ). O determinante dessa matriz nos dará o produto vetorial.

Passo 4

Escrevendo isso em forma de determinante, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos expandir esse determinante:

Passo 6

Simplificando os sinais, temos:

Resposta

Portanto, provamos que o produto vetorial é dado por:

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