Dados dois vetores, , prove que o produto vetorial a b é dado, em termos das componentes, por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e , cada um com componentes nas direções , e . O exercício pede para provar que o produto vetorial pode ser escrito em termos das componentes desses vetores de uma maneira específica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o produto vetorial e como calculá-lo usando as componentes dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional resulta em um terceiro vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais. A fórmula geral para calcular o produto vetorial usando as componentes dos vetores é baseada no determinante de uma matriz.
Passo 3
Vamos montar uma matriz onde a primeira linha são os vetores unitários , a segunda linha são as componentes do vetor () e a terceira linha são as componentes do vetor (). O determinante dessa matriz nos dará o produto vetorial.
Passo 4
Escrevendo isso em forma de determinante, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos expandir esse determinante:
a times b = i(ay bz - az by) - j(ax bz - az bx) + k(ax by - ay bx)
Passo 6
Simplificando os sinais, temos:
a times b = (ay bz - az by)i + (az bx - ax bz)j + (ax by - ay bx)k
Resposta
Portanto, provamos que o produto vetorial a times b = (ay bz-az by) i+(az bx-ax bz) j+(ax by-ay bx) k é dado por: