O vetor
, representa a posição de uma partícula em função do tempo t em unidades do sistema internacional (S.I). No instante
, determine:
(a) o vetor velocidade,
(b) o vetor aceleração e
© o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração,
(d) o módulo da aceleração tangencial,
(e) o módulo da aceleração centrípeta e
(f) o raio da circunferência tangente a trajetória.
(a) o vetor velocidade,
(b) o vetor aceleração e
© o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração,
(d) o módulo da aceleração tangencial,
(e) o módulo da aceleração centrípeta e
(f) o raio da circunferência tangente a trajetória.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de uma partícula em função do tempo, dada por:
Nosso objetivo é, no instante
segundos, determinar:
a) O vetor velocidade,
b) O vetor aceleração,
c) O ângulo entre os vetores velocidade e aceleração,
d) O módulo da aceleração tangencial,
e) O módulo da aceleração centrípeta,
f) O raio da circunferência tangente à trajetória.
Vamos precisar usar derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, geometria vetorial para o ângulo e as componentes da aceleração, além de conceitos de cinemática vetorial para os módulos das acelerações e o raio da circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente de
em relação a
:
Agora, substituímos
s na expressão da velocidade:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente de
:
Substituindo
s na expressão da aceleração:
Passo 4
Vamos encontrar o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração. Para isso, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde
é o ângulo entre os vetores. Primeiro, calculamos o produto escalar:
Agora, calculamos os módulos dos vetores:
Agora, usando a fórmula do cosseno:
Portanto,
Passo 5
Vamos determinar o módulo da aceleração tangencial. A aceleração tangencial (
) é a componente da aceleração na direção da velocidade. Usamos a fórmula:
Já calculamos
e
m/s, então:
O sinal negativo indica que a aceleração tangencial está na direção oposta à velocidade.
Passo 6
Agora, vamos achar o módulo da aceleração centrípeta (
). A aceleração centrípeta é a componente da aceleração perpendicular à velocidade e pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
Sabemos que
m/s² e
m/s². Então:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular o raio da circunferência tangente à trajetória (
). Usamos a relação entre velocidade, aceleração centrípeta e raio:
Resolvendo para
:
Com
m/s e
m/s²:
Resposta
a) O vetor velocidade em
s é
.
b) O vetor aceleração em
s é
.
c) O ângulo entre os vetores velocidade e aceleração é aproximadamente
.
d) O módulo da aceleração tangencial é aproximadamente
.
e) O módulo da aceleração centrípeta é aproximadamente
.
f) O raio da circunferência tangente à trajetória é aproximadamente
metros.
Exercícios relacionados
Uma partícula se move de tal forma que sua posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por
indo para o s
. Após norte do mastr com uma velo clista, durante são (a) o módu camento, © o velocidade mé direção da ace
Dados dois vetores,
, prove que o produto vetorial a
b é dado, em termos das componentes, por
.
Dois segundos após ter sido lançado a partir do solo, um projétil deslocou - se
horizontalmente e
verticalmente em relação ao ponto de lançamento. Quais são as componentes horizontal da velocidade inicial do projétil?
Uma bola de futebol é chutada a partir do chão com uma velocidade inicial de 19,5 m/s e um ângulo para cima de
. No mesmo instante um jogador a 55,0 m de distância, na direção do chute, começa a correr para receber a bola.
(a) Qual deve ser sua velocidade escalar média para que alcance a bola imediatamente antes que toque o gramado?
(b) Qual deve ser sua velocidade escalar média para que ele alcance a bola cabeceando - a. Considere a altura máxima do jogador + salto igual a 220 cm .
(a) Qual deve ser sua velocidade escalar média para que alcance a bola imediatamente antes que toque o gramado?
(b) Qual deve ser sua velocidade escalar média para que ele alcance a bola cabeceando - a. Considere a altura máxima do jogador + salto igual a 220 cm .