O vetor , representa a posição de uma partícula em função do tempo t em unidades do sistema internacional (S.I). No instante , determine:
(a) o vetor velocidade,
(b) o vetor aceleração e
© o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração,
(d) o módulo da aceleração tangencial,
(e) o módulo da aceleração centrípeta e
(f) o raio da circunferência tangente a trajetória.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de uma partícula em função do tempo, dada por:
Nosso objetivo é, no instante segundos, determinar:
a) O vetor velocidade,
b) O vetor aceleração,
c) O ângulo entre os vetores velocidade e aceleração,
d) O módulo da aceleração tangencial,
e) O módulo da aceleração centrípeta,
f) O raio da circunferência tangente à trajetória.
Vamos precisar usar derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, geometria vetorial para o ângulo e as componentes da aceleração, além de conceitos de cinemática vetorial para os módulos das acelerações e o raio da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente de em relação a :
Agora, substituímos s na expressão da velocidade:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente de :
Substituindo s na expressão da aceleração:

Passo 4

Vamos encontrar o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração. Para isso, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde é o ângulo entre os vetores. Primeiro, calculamos o produto escalar:
Agora, calculamos os módulos dos vetores:
Agora, usando a fórmula do cosseno:
Portanto,

Passo 5

Vamos determinar o módulo da aceleração tangencial. A aceleração tangencial ( ) é a componente da aceleração na direção da velocidade. Usamos a fórmula:
Já calculamos e m/s, então:
O sinal negativo indica que a aceleração tangencial está na direção oposta à velocidade.

Passo 6

Agora, vamos achar o módulo da aceleração centrípeta ( ). A aceleração centrípeta é a componente da aceleração perpendicular à velocidade e pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
Sabemos que m/s² e m/s². Então:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular o raio da circunferência tangente à trajetória ( ). Usamos a relação entre velocidade, aceleração centrípeta e raio:
Resolvendo para :
Com m/s e m/s²:

Resposta

a) O vetor velocidade em s é .
b) O vetor aceleração em s é .
c) O ângulo entre os vetores velocidade e aceleração é aproximadamente .
d) O módulo da aceleração tangencial é aproximadamente .
e) O módulo da aceleração centrípeta é aproximadamente .
f) O raio da circunferência tangente à trajetória é aproximadamente metros.

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