O vetor r(t)=(t^3-5 t^2+6 t) imath+(5 t^2-t^3-3) jmath, representa a posição de uma partícula em função do tempo t em unidades do sistema internacional (S.I). No instante t=2,0 s, determine:
(a) o vetor velocidade,
(b) o vetor aceleração e
© o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração,
(d) o módulo da aceleração tangencial,
(e) o módulo da aceleração centrípeta e
(f) o raio da circunferência tangente a trajetória.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de uma partícula em função do tempo, dada por:
r(t) = (t^3 - 5 t^2 + 6 t) imath + (5 t^2 - t^3 - 3) jmath
Nosso objetivo é, no instante segundos, determinar:
a) O vetor velocidade,
b) O vetor aceleração,
c) O ângulo entre os vetores velocidade e aceleração,
d) O módulo da aceleração tangencial,
e) O módulo da aceleração centrípeta,
f) O raio da circunferência tangente à trajetória.
Vamos precisar usar derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, geometria vetorial para o ângulo e as componentes da aceleração, além de conceitos de cinemática vetorial para os módulos das acelerações e o raio da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente de v(t) = dr(t)dt = (3t^2 - 10t + 6) imath + (10t - 3t^2) jmath em relação a v(2) = (3(2)^2 - 10(2) + 6) imath + (10(2) - 3(2)^2) jmath = (12 - 20 + 6) imath + (20 - 12) jmath = (-2) imath + 8 jmath , m/s :
Agora, substituímos s na expressão da velocidade:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente de a(t) = dv(t)dt = (6t - 10) imath + (10 - 6t) jmath :
a(2) = (6(2) - 10) imath + (10 - 6(2)) jmath = (12 - 10) imath + (10 - 12) jmath = 2 imath - 2 jmath , m/s^2
Substituindo s na expressão da aceleração:

Passo 4

Vamos encontrar o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração. Para isso, usamos a fórmula do produto escalar:
v cdot a = |v| , |a| cos(theta)
Onde v(2) cdot a(2) = (-2)(2) + (8)(-2) = -4 - 16 = -20 é o ângulo entre os vetores. Primeiro, calculamos o produto escalar:
|v(2)| = raiz(-2)^2 + 8^2 = raiz4 + 64 = raiz68 approx 8,246 , m/s
Agora, calculamos os módulos dos vetores:
|a(2)| = raiz2^2 + (-2)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 approx 2,828 , m/s^2
-20 = (8,246)(2,828) cos(theta)
Agora, usando a fórmula do cosseno:
cos(theta) = -2023,322 approx -0,857
theta approx arccos(-0,857) approx 148,07^circ
Portanto,

Passo 5

Vamos determinar o módulo da aceleração tangencial. A aceleração tangencial ( at = v cdot a|v| ) é a componente da aceleração na direção da velocidade. Usamos a fórmula:
at = -208,246 approx -2,424 , m/s^2
Já calculamos e m/s, então:
O sinal negativo indica que a aceleração tangencial está na direção oposta à velocidade.

Passo 6

Agora, vamos achar o módulo da aceleração centrípeta ( |a|^2 = at^2 + ac^2 ). A aceleração centrípeta é a componente da aceleração perpendicular à velocidade e pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
(2,828)^2 = (-2,424)^2 + ac^2
Sabemos que 7,998 approx 5,876 + ac^2 m/s² e ac^2 approx 2,122 m/s². Então:
ac approx raiz2,122 approx 1,457 , m/s^2

Passo 7

Finalmente, vamos calcular o raio da circunferência tangente à trajetória ( ac = v^2R ). Usamos a relação entre velocidade, aceleração centrípeta e raio:
R = v^2ac
Resolvendo para R = (8,246)^21,457 approx 681,457 approx 46,7 , m :
Com m/s e m/s²:

Resposta

a) O vetor velocidade em s é .
b) O vetor aceleração em s é .
c) O ângulo entre os vetores velocidade e aceleração é aproximadamente .
d) O módulo da aceleração tangencial é aproximadamente .
e) O módulo da aceleração centrípeta é aproximadamente .
f) O raio da circunferência tangente à trajetória é aproximadamente metros.

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