(a) Vimos que a lei comutativa não se aplica aos produtos vetoriais, isto é, não é igual a . Mostre que a lei comutativa se aplica aos produtos escalares; ou seja, que ; (b) Mostre que a lei distributiva se aplica a ambos os produtos vetorial e escalar; isto é, mostre que . © A lei associativa se aplica aos produtos vetoriais; isto é, é igual a ? (d) faz sentido falar de uma lei associativa para produtos escalares?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos quatro partes para resolver envolvendo produtos vetoriais e escalares. A matéria aqui é Álgebra Vetorial, e vamos precisar entender as leis comutativa, distributiva e associativa aplicadas a esses produtos para resolver cada item.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que a lei comutativa se aplica aos produtos escalares

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. Para dois vetores e , o produto escalar é definido como:
onde é o ângulo entre os vetores.
Agora, para mostrar que , basta observar que:
Então, o produto escalar é comutativo.

Passo 3

Parte (b): Mostrar que a lei distributiva se aplica aos produtos vetorial e escalar

Vamos dividir essa parte em duas partes menores.
Produto Escalar:
Queremos mostrar que:
Usando a definição do produto escalar e a propriedade distributiva da multiplicação, temos:
Mas, de forma mais direta, expandindo os vetores componente a componente:
Se , e , então:
Produto Vetorial:
Queremos mostrar que:
Usando a definição do produto vetorial e expandindo componente a componente:
Isso pode ser reescrito como:
Portanto, a lei distributiva se aplica tanto ao produto escalar quanto ao vetorial.

Passo 4

Parte ©: Verificar se a lei associativa se aplica aos produtos vetoriais

Queremos saber se:
Para verificar isso, podemos usar a identidade do produto vetorial conhecida como Identidade de Jacobi, que nos diz que o produto vetorial não é associativo. Ou seja, a equação acima geralmente não é verdadeira.
Por exemplo, considere vetores unitários , , :
Neste caso específico, dá igual, mas em geral, para outros vetores, não será. Portanto, a lei associativa não se aplica aos produtos vetoriais.

Passo 5

Parte (d): Fazer sentido falar de uma lei associativa para produtos escalares?

A lei associativa envolve três elementos e como as operações se agrupam. Para produtos escalares, que são operações binárias retornando um escalar, não faz sentido falar de associatividade no mesmo sentido que para operações que retornam vetores.
Por exemplo, se tentarmos associar produtos escalares:
Aqui, é um escalar, e não faz sentido multiplicar esse escalar por um vetor da mesma forma que multiplicamos vetores. Portanto, não faz sentido falar de uma lei associativa para produtos escalares.

Resposta

(a) A lei comutativa se aplica aos produtos escalares, ou seja, .
(b) A lei distributiva se aplica tanto aos produtos escalares quanto aos vetoriais, de modo que e .
© A lei associativa não se aplica aos produtos vetoriais, ou seja, em geral.
(d) Não faz sentido falar de uma lei associativa para produtos escalares, pois a operação não permite o agrupamento de três vetores de maneira associativa.

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