Determine a distância do ponto P(1,0,1) à reta que passa pelos pontos A(0,0,0) e B(6,3,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a distância entre o ponto e a reta que passa pelos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente vetores e o cálculo da distância de um ponto a uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que representam a reta e a posição do ponto em relação à reta. A reta é definida pelos pontos e , então podemos encontrar o vetor que vai de até .

Passo 3

Calculando o vetor AB = B - A = (6-0, 3-0, 2-0) = (6, 3, 2) :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor AP = P - A = (1-0, 0-0, 1-0) = (1, 0, 1) que vai de até :

Passo 5

Para achar a distância do ponto D = |AB times AP||AB| à reta, usamos a fórmula que envolve o produto vetorial entre e :
Aqui, é o produto vetorial dos dois vetores, e é o módulo (ou comprimento) do vetor .

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial AB times AP = i & j & k 6 & 3 & 2 1 & 0 & 1 = i(3 cdot 1 - 2 cdot 0) - j(6 cdot 1 - 2 cdot 1) + k(6 cdot 0 - 3 cdot 1) :
= i(3) - j(4) + k(-3) = (3, -4, -3)

Passo 7

Agora, vamos calcular o módulo do produto vetorial:
|AB times AP| = raiz3^2 + (-4)^2 + (-3)^2 = raiz9 + 16 + 9 = raiz34

Passo 8

Em seguida, calculamos o módulo do vetor |AB| = raiz6^2 + 3^2 + 2^2 = raiz36 + 9 + 4 = raiz49 = 7 :

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
D = raiz347

Resposta

A distância do ponto à reta que passa pelos pontos e é unidades.

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