Dados dois vetores A=4,0 i+3,0 j e B=5,0 i-2,0 j, encontre:
d) O ângulo entre esses dois vetores;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o ângulo entre os vetores A e B. Estamos trabalhando com vetores no plano cartesiano, e para isso vamos precisar usar o conceito de produto escalar e a fórmula para calcular o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar de A e B é dado por:
A cdot B = Ax cdot Bx + Ay cdot By
Isso nos ajuda a relacionar os componentes dos vetores para encontrar o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar dos vetores A=4,0 i + 3,0 j e B=5,0 i - 2,0 j:
A cdot B = (4,0) cdot (5,0) + (3,0) cdot (-2,0) = 20,0 - 6,0 = 14,0

Passo 4

Agora, precisamos calcular o módulo de cada vetor. O módulo de um vetor V = Vx i + Vy j é dado por:
|V| = raizVx^2 + Vy^2
Vamos calcular para A e B:
Para A:
|A| = raiz4,0^2 + 3,0^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5,0
Para B:
|B| = raiz5,0^2 + (-2,0)^2 = raiz25 + 4 = raiz29 approx 5,385

Passo 5

Com o produto escalar e os módulos calculados, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo theta entre os vetores:
costheta = A cdot B|A| cdot |B|
Substituindo os valores:
costheta = 14,05,0 cdot 5,385 approx 14,026,925 approx 0,520

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta, vamos usar a função arco cosseno (ou cos^-1):
theta = cos^-1(0,520) approx 58^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores A e B é aproximadamente 58^circ.

Exercícios relacionados