Dados dois vetores A=-2,0 imath+3,0 jmath+4,0 k e B= 3,0 imath+1,0 jmath-3,0 k, determine: a) o módulo de cada vetor; b) uma expressão para a diferença vetorial A-B, usando vetores unitários; c) o módulo da diferença vetorial A-B. Este valor é igual ao módulo da diferença vetorial B-A ? Explique. 5,38 ; 4,36 ;-5,00 i+2,00 j+7,00 k

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos dois vetores:
A = -2,0, imath + 3,0, jmath + 4,0, k
B = 3,0, imath + 1,0, jmath - 3,0, k
O que a gente precisa fazer:
a) Encontrar o módulo (ou comprimento) de cada vetor.
b) Escrever a diferença dos vetores usando os vetores unitários , , e .
c) Calcular o módulo dessa diferença vetorial e verificar se é igual ao módulo de , explicando o porquê.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

a) Encontrar o módulo de cada vetor
Primeiro, vamos lembrar que o módulo de um vetor |V| = raizVx^2 + Vy^2 + Vz^2 é dado por:
|A| = raiz(-2,0)^2 + (3,0)^2 + (4,0)^2 = raiz4 + 9 + 16 = raiz29 approx 5,39
Então, vamos calcular isso para |B| = raiz(3,0)^2 + (1,0)^2 + (-3,0)^2 = raiz9 + 1 + 9 = raiz19 approx 4,36 e .
Para :
Para :

Passo 3

b) Expressar A - B = (Ax - Bx), imath + (Ay - By), jmath + (Az - Bz), k usando vetores unitários
A diferença entre dois vetores é feita subtraindo componente por componente. Então:
A - B = (-2,0 - 3,0), imath + (3,0 - 1,0), jmath + (4,0 - (-3,0)), k
Vamos substituir os valores:
A - B = (-5,0), imath + (2,0), jmath + (7,0), k
A - B = -5,00, imath + 2,00, jmath + 7,00, k
Então, a expressão para é:

Passo 4

c) Calcular o módulo da diferença vetorial |A - B| = raiz(-5,0)^2 + (2,0)^2 + (7,0)^2 = raiz25 + 4 + 49 = raiz78 approx 8,83 e comparar com B - A = (3,0 - (-2,0)), imath + (1,0 - 3,0), jmath + (-3,0 - 4,0), k
Primeiro, vamos calcular o módulo de B - A = 5,0, imath - 2,0, jmath - 7,0, k :
|B - A| = raiz(5,0)^2 + (-2,0)^2 + (-7,0)^2 = raiz25 + 4 + 49 = raiz78 approx 8,83
Agora, vamos encontrar :
Calculando o módulo:
Será que esses módulos são iguais?
Sim, . Isso acontece porque, quando subtraímos vetores, mudar a ordem apenas inverte a direção do vetor resultante, mas o comprimento (módulo) permanece o mesmo.

Resposta

a) Os módulos são aproximadamente para e para .
b) A diferença vetorial é .
c) O módulo da diferença vetorial é aproximadamente , e esse valor é igual ao módulo de porque a ordem da subtração não altera o comprimento do vetor resultante.

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