Dados dois vetores de módulos 3 e 5 , calcule o vetor resultante da soma sabendo que o ângulo entre eles é de 45‥

Passo 1

Então, a gente tem dois vetores, um com módulo 3 e outro com módulo 5, e o ângulo entre eles é de 45 graus. A gente vai calcular o vetor resultante dessa soma usando trigonometria, especificamente a Lei dos Cossenos, que nos ajuda a encontrar o módulo do vetor resultante quando conhecemos os módulos dos vetores e o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei dos Cossenos. Ela é usada para encontrar o lado de um triângulo quando conhecemos os outros dois lados e o ângulo formado entre eles. A fórmula é:
R = raizA^2 + B^2 + 2AB cos(theta)
Onde:
  • é o módulo do vetor resultante,
  • e são os módulos dos vetores,
  • é o ângulo entre os vetores.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que a gente tem na fórmula. Sabemos que:
  • R = raiz3^2 + 5^2 + 2 times 3 times 5 times cos(45^circ) ,
  • ,
  • .
Então, a gente coloca esses valores na fórmula:

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular R = raiz9 + 25 + 15raiz2 ,
  2. Calcular ,
  3. Calcular ,
  4. Calcular . Sabemos que ,
  5. Multiplicar .
Agora, somamos tudo dentro da raiz:

Passo 5

Vamos somar os números:
9 + 25 = 34
Então, a expressão fica:
R = raiz34 + 15raiz2

Passo 6

Para chegar a um valor numérico aproximado, vamos calcular 15 times 1,4142 approx 21,213 :
34 + 21,213 = 55,213
Agora, somamos:
R approx raiz55,213 approx 7,43
E finalmente, tiramos a raiz quadrada:

Resposta

O vetor resultante da soma tem módulo aproximadamente igual a 7,43 unidades.

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