Um pêndulo é formado prendendo-se uma barra longa e fina de comprimento
e massa
em um dado ponto, que esta a uma distância
acima do seu centro. (a) Ache o período deste pêndulo em temos de
e
, para pequenas oscilações.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre pêndulos! A gente tem uma barra fina e longa de comprimento
e massa
presa a um ponto que está a uma distância
acima do seu centro. Queremos encontrar o período desse pêndulo em termos de
,
e
(a aceleração da gravidade) para pequenas oscilações. Vamos precisar usar conceitos de física sobre pêndulos físicos e o momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que esse pêndulo não é um pêndulo simples, mas sim um pêndulo físico porque a massa está distribuída ao longo da barra. Para calcular o período, vamos usar a fórmula:
Aqui:
-
é o período. -
é o momento de inércia da barra em relação ao ponto de suspensão. -
é a massa da barra. -
é a aceleração da gravidade. -
é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa da barra.
Passo 3
Vamos encontrar o momento de inércia
. Para uma barra fina de comprimento
pivotada no seu centro, o momento de inércia é:
Mas, como a barra está presa a uma distância
acima do centro, usamos o Teorema de Steiner (ou Teorema dos Eixos Paralelos) para ajustar o momento de inércia em relação ao novo ponto de suspensão:
Passo 4
O centro de massa da barra está a uma distância
do ponto de suspensão. Agora, substituímos
e
na fórmula do período:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, cancelamos a massa
nos termos:
Passo 6
Para deixar a expressão mais limpa, podemos fatorar
do denominador:
Passo 7
Finalmente, podemos escrever o período
em termos de
,
e
:
Resposta
O período do pêndulo é dado por: