Um pêndulo é formado prendendo-se uma barra longa e fina de comprimento L e massa m em um dado ponto, que esta a uma distância d acima do seu centro. (a) Ache o período deste pêndulo em temos de d, L e g, para pequenas oscilações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre pêndulos! A gente tem uma barra fina e longa de comprimento e massa presa a um ponto que está a uma distância acima do seu centro. Queremos encontrar o período desse pêndulo em termos de , e (a aceleração da gravidade) para pequenas oscilações. Vamos precisar usar conceitos de física sobre pêndulos físicos e o momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que esse pêndulo não é um pêndulo simples, mas sim um pêndulo físico porque a massa está distribuída ao longo da barra. Para calcular o período, vamos usar a fórmula:
T = 2pi raizImgh
Aqui:
  • é o período.
  • é o momento de inércia da barra em relação ao ponto de suspensão.
  • é a massa da barra.
  • é a aceleração da gravidade.
  • é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa da barra.

Passo 3

Vamos encontrar o momento de inércia Icentro = 112 m L^2 . Para uma barra fina de comprimento I = Icentro + m d^2 = 112 m L^2 + m d^2 pivotada no seu centro, o momento de inércia é:
Mas, como a barra está presa a uma distância acima do centro, usamos o Teorema de Steiner (ou Teorema dos Eixos Paralelos) para ajustar o momento de inércia em relação ao novo ponto de suspensão:

Passo 4

O centro de massa da barra está a uma distância T = 2pi raiz112 m L^2 + m d^2m g d do ponto de suspensão. Agora, substituímos e na fórmula do período:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, cancelamos a massa T = 2pi raiz112 L^2 + d^2g d nos termos:

Passo 6

Para deixar a expressão mais limpa, podemos fatorar T = 2pi raizL^212 d + d^2g d = 2pi raizL^212 d g + dg do denominador:

Passo 7

Finalmente, podemos escrever o período T = 2pi raizL^212 d g + dg em termos de , e :

Resposta

O período do pêndulo é dado por:
T = 2pi raizL^212 d g + dg

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