Um disco circular uniforme de raio
está suspenso, como um pêndulo físico, de um ponto em sua borda. (a) Qual o seu período de oscilação? (b) A que distância radial
há um ponto de suspensão que origina o mesmo período?
Passo 1
Então, temos um disco circular uniforme com raio
que está pendurado como um pêndulo físico a partir de um ponto na sua borda. Vamos trabalhar com conceitos de pêndulos físicos e momentos de inércia para descobrir duas coisas: (a) o período de oscilação desse pêndulo e (b) a distância radial
onde, se a gente suspendesse o disco, o período seria o mesmo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um pêndulo físico. Diferente do pêndulo simples, que é uma massa pontual, o pêndulo físico considera a distribuição de massa do objeto. Para encontrar o período de oscilação, usamos a fórmula:
onde:
-
é o período, -
é o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão, -
é a massa do objeto, -
é a aceleração da gravidade, -
é a distância do centro de massa até o ponto de suspensão.
Passo 3
No nosso caso, o disco está suspenso pela borda, então precisamos encontrar o momento de inércia
do disco em relação a esse ponto. Sabemos que o momento de inércia de um disco em relação ao seu centro é:
Mas queremos o momento de inércia em relação à borda. Para isso, usamos o Teorema de Steiner, que diz:
onde
é a distância entre o centro de massa e o ponto de suspensão. Aqui,
, então:
Passo 4
Agora, precisamos determinar a distância
, que é a distância do centro de massa até o ponto de suspensão. Para o disco, o centro de massa está no centro geométrico, então
.
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula do período:
Simplificando:
Passo 6
Agora, para a parte (b), queremos encontrar uma nova distância
abaixo do centro (
) onde o período seja o mesmo. Usamos novamente a fórmula do período, mas agora queremos que seja igual ao que já encontramos. Igualando as expressões:
Podemos simplificar removendo
dos dois lados e elevando ao quadrado:
Para encontrar
em termos de
, usamos o momento de inércia em relação a um ponto a uma distância
do centro:
E
. Substituindo:
Cancelando
e simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática para
:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Isso dá duas soluções:
Como
, a distância desejada é
.
Resposta
(a) O período de oscilação do disco é
.
(b) A distância radial
que origina o mesmo período é
.
Exercícios relacionados
Um disco delgado, de
e raio de
, está suspenso por um eixo horizontal, perpendicular ao seu plano, e que passa por um ponto da periferia. O disco é ligeiramente deslocado da posição de equilíbrio e solto para oscilar sob a ação do próprio peso. Calcular o período do movimento harmônico simples que se instala.
Dados dois vetores de módulos 3 e 5 , calcule o vetor resultante da soma sabendo que o ângulo entre eles é de 45‥
Durante a decolagem de um jato, imagine que você mantenha suspenso um pequeno pêndulo simples e observe que, com o pêndulo em repouso em relação ao interior do jato (a massa do pêndulo é de
), o fio (comprimento de
) faz um ângulo de
com a vertical. Calcular o período
das pequenas oscilações deste pêndulo.
Um oscilador forçado, com amortecimento, tem frequência angular natural de
, fator de amortecimento de
, a massa do corpo que oscila é igual a
e a força externa que atua no oscilador tem módulo igual a 20 N. c) Qual é o fator de qualidade na ressonância para este oscilador?