Um disco circular uniforme de raio está suspenso, como um pêndulo físico, de um ponto em sua borda. (a) Qual o seu período de oscilação? (b) A que distância radial há um ponto de suspensão que origina o mesmo período?

Passo 1

Então, temos um disco circular uniforme com raio que está pendurado como um pêndulo físico a partir de um ponto na sua borda. Vamos trabalhar com conceitos de pêndulos físicos e momentos de inércia para descobrir duas coisas: (a) o período de oscilação desse pêndulo e (b) a distância radial onde, se a gente suspendesse o disco, o período seria o mesmo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um pêndulo físico. Diferente do pêndulo simples, que é uma massa pontual, o pêndulo físico considera a distribuição de massa do objeto. Para encontrar o período de oscilação, usamos a fórmula:
onde:
  • é o período,
  • é o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão,
  • é a massa do objeto,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a distância do centro de massa até o ponto de suspensão.

Passo 3

No nosso caso, o disco está suspenso pela borda, então precisamos encontrar o momento de inércia do disco em relação a esse ponto. Sabemos que o momento de inércia de um disco em relação ao seu centro é:
Mas queremos o momento de inércia em relação à borda. Para isso, usamos o Teorema de Steiner, que diz:
onde é a distância entre o centro de massa e o ponto de suspensão. Aqui, , então:

Passo 4

Agora, precisamos determinar a distância , que é a distância do centro de massa até o ponto de suspensão. Para o disco, o centro de massa está no centro geométrico, então .

Passo 5

Substituindo e na fórmula do período:
Simplificando:

Passo 6

Agora, para a parte (b), queremos encontrar uma nova distância abaixo do centro ( ) onde o período seja o mesmo. Usamos novamente a fórmula do período, mas agora queremos que seja igual ao que já encontramos. Igualando as expressões:
Podemos simplificar removendo dos dois lados e elevando ao quadrado:
Para encontrar em termos de , usamos o momento de inércia em relação a um ponto a uma distância do centro:
E . Substituindo:
Cancelando e simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática para :
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Isso dá duas soluções:
Como , a distância desejada é .

Resposta

(a) O período de oscilação do disco é .
(b) A distância radial que origina o mesmo período é .

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