Um disco circular uniforme de raio R está suspenso, como um pêndulo físico, de um ponto em sua borda. (a) Qual o seu período de oscilação? (b) A que distância radial r há um ponto de suspensão que origina o mesmo período?

Passo 1

Então, temos um disco circular uniforme com raio que está pendurado como um pêndulo físico a partir de um ponto na sua borda. Vamos trabalhar com conceitos de pêndulos físicos e momentos de inércia para descobrir duas coisas: (a) o período de oscilação desse pêndulo e (b) a distância radial onde, se a gente suspendesse o disco, o período seria o mesmo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um pêndulo físico. Diferente do pêndulo simples, que é uma massa pontual, o pêndulo físico considera a distribuição de massa do objeto. Para encontrar o período de oscilação, usamos a fórmula:
T = 2pi raizImgh
onde:
  • é o período,
  • é o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão,
  • é a massa do objeto,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a distância do centro de massa até o ponto de suspensão.

Passo 3

No nosso caso, o disco está suspenso pela borda, então precisamos encontrar o momento de inércia Icentro = 12mR^2 do disco em relação a esse ponto. Sabemos que o momento de inércia de um disco em relação ao seu centro é:
I = Icentro + md^2
Mas queremos o momento de inércia em relação à borda. Para isso, usamos o Teorema de Steiner, que diz:
I = 12mR^2 + mR^2 = 32mR^2
onde é a distância entre o centro de massa e o ponto de suspensão. Aqui, , então:

Passo 4

Agora, precisamos determinar a distância , que é a distância do centro de massa até o ponto de suspensão. Para o disco, o centro de massa está no centro geométrico, então .

Passo 5

Substituindo T = 2pi raiz32mR^2mgR = 2pi raiz32 cdot R^2gR = 2pi raiz3R2g e T = 2pi raiz3R2g na fórmula do período:
Simplificando:

Passo 6

Agora, para a parte (b), queremos encontrar uma nova distância 2pi raiz3R2g = 2pi raizI'mgh' abaixo do centro ( 3R2g = I'mgh' ) onde o período seja o mesmo. Usamos novamente a fórmula do período, mas agora queremos que seja igual ao que já encontramos. Igualando as expressões:
I' = Icentro + mr^2 = 12mR^2 + mr^2
Podemos simplificar removendo 3R2g = 12mR^2 + mr^2mgr dos dois lados e elevando ao quadrado:
3R2g = 12R^2 + r^2gr
Para encontrar 3R2 cdot r = 12R^2 + r^2 em termos de r^2 - 3R2 r + 12R^2 = 0 , usamos o momento de inércia em relação a um ponto a uma distância r = 3R2 pm raiz(3R2)^2 - 4 cdot 1 cdot 12R^22 do centro:
raiz9R^24 - 2R^2 = raiz9R^2 - 8R^24 = raizR^24 = R2
E r = 3R2 pm R22 . Substituindo:
r = 4R4 = R ou r = 2R4 = R2
Cancelando e simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática para :
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Isso dá duas soluções:
Como , a distância desejada é .

Resposta

(a) O período de oscilação do disco é .
(b) A distância radial que origina o mesmo período é .

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