Um disco delgado, de
e raio de
, está suspenso por um eixo horizontal, perpendicular ao seu plano, e que passa por um ponto da periferia. O disco é ligeiramente deslocado da posição de equilíbrio e solto para oscilar sob a ação do próprio peso. Calcular o período do movimento harmônico simples que se instala.
Passo 1
Então, a gente tem um disco fino com massa
e raio
, pendurado por um eixo horizontal que passa por um ponto na borda. A ideia é descobrir quanto tempo leva para o disco fazer um ciclo completo de oscilações, ou seja, o período do movimento harmônico simples. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre momento de inércia e o movimento de pêndulo físico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do disco em relação ao ponto de suspensão. Sabemos que o momento de inércia de um disco fino em relação ao seu centro é
.
Passo 3
Como o eixo de rotação não está no centro do disco, mas na borda, usamos o teorema de Steiner (ou o teorema dos eixos paralelos) para encontrar o momento de inércia em relação ao novo eixo:
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula do período para um pêndulo físico, que é:
onde
é a distância do centro de massa ao ponto de suspensão. Neste caso,
porque o eixo está na borda do disco.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Aqui, o
cancelou e simplificamos os termos dentro da raiz quadrada.
Resposta
O período do movimento harmônico simples é: