Um disco delgado, de
e raio de
, está suspenso por um eixo horizontal, perpendicular ao seu plano, e que passa por um ponto da periferia. O disco é ligeiramente deslocado da posição de equilíbrio e solto para oscilar sob a ação do próprio peso. Calcular o período do movimento harmônico simples que se instala.
Passo 1
Então, a gente tem um disco fino com massa
e raio
, pendurado por um eixo horizontal que passa por um ponto na borda. A ideia é descobrir quanto tempo leva para o disco fazer um ciclo completo de oscilações, ou seja, o período do movimento harmônico simples. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre momento de inércia e o movimento de pêndulo físico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do disco em relação ao ponto de suspensão. Sabemos que o momento de inércia de um disco fino em relação ao seu centro é
.
Passo 3
Como o eixo de rotação não está no centro do disco, mas na borda, usamos o teorema de Steiner (ou o teorema dos eixos paralelos) para encontrar o momento de inércia em relação ao novo eixo:
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula do período para um pêndulo físico, que é:
onde
é a distância do centro de massa ao ponto de suspensão. Neste caso,
porque o eixo está na borda do disco.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Aqui, o
cancelou e simplificamos os termos dentro da raiz quadrada.
Resposta
O período do movimento harmônico simples é:
Exercícios relacionados
Dados dois vetores de módulos 3 e 5 , calcule o vetor resultante da soma sabendo que o ângulo entre eles é de 45‥
Um pêndulo é formado prendendo-se uma barra longa e fina de comprimento
e massa
em um dado ponto, que esta a uma distância
acima do seu centro. (a) Ache o período deste pêndulo em temos de
e
, para pequenas oscilações.
Um disco circular uniforme de raio
está suspenso, como um pêndulo físico, de um ponto em sua borda. (a) Qual o seu período de oscilação? (b) A que distância radial
há um ponto de suspensão que origina o mesmo período?
Durante a decolagem de um jato, imagine que você mantenha suspenso um pequeno pêndulo simples e observe que, com o pêndulo em repouso em relação ao interior do jato (a massa do pêndulo é de
), o fio (comprimento de
) faz um ângulo de
com a vertical. Calcular o período
das pequenas oscilações deste pêndulo.