Um disco delgado, de e raio de , está suspenso por um eixo horizontal, perpendicular ao seu plano, e que passa por um ponto da periferia. O disco é ligeiramente deslocado da posição de equilíbrio e solto para oscilar sob a ação do próprio peso. Calcular o período do movimento harmônico simples que se instala.

Passo 1

Então, a gente tem um disco fino com massa e raio , pendurado por um eixo horizontal que passa por um ponto na borda. A ideia é descobrir quanto tempo leva para o disco fazer um ciclo completo de oscilações, ou seja, o período do movimento harmônico simples. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre momento de inércia e o movimento de pêndulo físico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do disco em relação ao ponto de suspensão. Sabemos que o momento de inércia de um disco fino em relação ao seu centro é .

Passo 3

Como o eixo de rotação não está no centro do disco, mas na borda, usamos o teorema de Steiner (ou o teorema dos eixos paralelos) para encontrar o momento de inércia em relação ao novo eixo:

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula do período para um pêndulo físico, que é:
onde é a distância do centro de massa ao ponto de suspensão. Neste caso, porque o eixo está na borda do disco.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
Aqui, o cancelou e simplificamos os termos dentro da raiz quadrada.

Resposta

O período do movimento harmônico simples é:

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