A posição de uma partícula é dada por x(t)=(7 cm) operatorname c o s (6 pi t), com t em segundos. Qual é (e) a velocidade máxima da partícula?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão diz que a posição de uma partícula é dada por , com em segundos. Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade máxima dessa partícula. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente sobre movimentos harmônicos, e vamos precisar calcular a derivada da posição para achar a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de posição que temos:
x(t) = 7, cm cdot cos(6pi t)
Aqui, é a amplitude do movimento, e é a frequência angular ( ) do movimento.

Passo 3

Para encontrar a velocidade, precisamos derivar a posição em relação ao tempo. A velocidade é a taxa de variação da posição, então:
v(t) = dx(t)dt
Vamos calcular essa derivada.

Passo 4

Derivando a função de posição:
v(t) = ddt [ 7, cm cdot cos(6pi t) ] = -7, cm cdot 6pi cdot sin(6pi t)
Simplificando:
v(t) = -42pi, cm/s cdot sin(6pi t)

Passo 5

A velocidade máxima ocorre quando o valor de vmáx = 42pi, cm/s é igual a 1 (porque o seno varia entre -1 e 1). Portanto, a velocidade máxima ( á) é:
á

Resposta

A velocidade máxima da partícula é .

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