Sejam os conjuntos de vetores abaixo. Demonstre se os mesmos são espaços vetoriais. caso(s) em que algum(ns) conjunto(s) for(em) espaço(s) vetorial(is), encontre uma base para este(s) espaço(s) e determine a dimensão do(s) mesmo(s).
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores B = 2s 3s + t s + 2t 3t in R^4 g| s, t in R definido da seguinte forma:
Nosso objetivo é verificar se esse conjunto é um espaço vetorial. Caso seja, precisamos encontrar uma base para ele e determinar sua dimensão. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades e conceitos da álgebra linear, como operações de vetores, combinação linear, independência linear, bases e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser um espaço vetorial. Um conjunto é considerado um espaço vetorial se, além de conter o vetor zero, ele for fechado sob adição de vetores e multiplicação por escalares. Isso quer dizer que, se pegarmos quaisquer dois vetores em e somarmos, o resultado também deve estar em . O mesmo vale para multiplicar um vetor de por qualquer número real , o vetor resultante também deve estar em .
Passo 3
Vamos verificar se o vetor zero está em 0 0 0 0 . O vetor zero em 2s = 0 3s + t = 0 s + 2t = 0 3t = 0 é:
Para que esse vetor esteja em , deve existir valores de e que satisfaçam:
Resolvendo essas equações, vemos que e . Portanto, o vetor zero está em .
Passo 4
Agora, vamos verificar se u = 2s1 3s1 + t1 s1 + 2t1 3t1 , v = 2s2 3s2 + t2 s2 + 2t2 3t2 é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Podemos ver que esse vetor também está na forma de , com e . Portanto, é fechado sob adição.
Multiplicação por Escalar:
Se está em e é um escalar real, então:
Novamente, este vetor está na forma de com e . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Como 2s 3s + t s + 2t 3t = s 2 3 1 0 + t 0 1 2 3 contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalares, então podemos concluir que 2 3 1 0 é um espaço vetorial.
Agora, vamos encontrar uma base para 0 1 2 3 e determinar sua dimensão. Para isso, vamos expressar os vetores de como combinações lineares de vetores fixos.
Podemos reescrever qualquer vetor em da seguinte forma:
Isso mostra que qualquer vetor em é uma combinação linear dos vetores e .
Passo 6
Para garantir que c1 2 3 1 0 + c2 0 1 2 3 = 0 0 0 0 e 2c1 = 0 3c1 + c2 = 0 c1 + 2c2 = 0 3c2 = 0 formam uma base, precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação é e .
Escrevendo isso:
Isso resulta no sistema de equações:
Da primeira equação, . Da última equação, . Portanto, os vetores são linearmente independentes.
Passo 7
Como e são linearmente independentes e geram , eles formam uma base para . A dimensão de é o número de vetores na base, ou seja, 2.
Resposta
Sim, 2 3 1 0 é um espaço vetorial. Uma base para 0 1 2 3 é formada pelos vetores e , e a dimensão de é 2.