Dados os espaços vetoriais
, considere o conjunto
(produto cartesiano de
por
), cujos elementos são os pares ordenados
, com
e
. Defina operações que tornem
um espaço vetorial. Verifique a validez de cada um dos axiomas e mostre que sua definição se estende para o caso de
espaços vetoriais
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente pegar dois espaços vetoriais,
e
, e formar um novo espaço vetorial
que é basicamente o produto cartesiano de
e
. Isso significa que os elementos de
são pares ordenados
, onde
vem de
e
vem de
. A nossa missão é definir operações de soma e multiplicação por escalar nesse novo espaço
, verificar se todas as regras (axiomas) de um espaço vetorial são satisfeitas e mostrar que isso vale também se tivermos mais de dois espaços vetoriais, até
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir como será a soma de dois vetores em
. Se temos dois vetores
e
em
, a soma deles vai ser:
Aqui, estamos somando os primeiros componentes
e
no espaço
, e os segundos componentes
e
no espaço
. Essa definição segue a ideia de soma componente a componente.
Passo 3
Agora, vamos definir a multiplicação de um vetor por um escalar. Se temos um vetor
em
e um escalar
, a multiplicação será:
Aqui, multiplicamos cada componente do vetor pelo escalar
individualmente nos espaços
e
. Isso mantém a estrutura linear dos espaços.
Passo 4
Com as operações definidas, precisamos verificar se elas satisfazem todos os axiomas de um espaço vetorial. Vamos checar alguns principais:
-
Fechamento na soma e na multiplicação por escalar: Como
e são espaços vetoriais, a soma em e em também estão em seus respectivos espaços. O mesmo vale para a multiplicação por escalar e . -
Associatividade da soma: Para três vetores
, e em :
Ambos resultam no mesmo vetor, então a associatividade é válida.
- Elemento neutro da soma: O vetor
, onde é o neutro em e , satisfaz:
- Inverso aditivo: Para cada
, existe que satisfaz:
- Distribuição da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
Os dois lados são iguais, então a distribuição funciona.
Esses são apenas alguns dos axiomas, mas seguindo esse raciocínio, todos os outros são satisfeitos devido às propriedades dos espaços
e
.
Passo 5
Agora que vimos que para dois espaços vetoriais
e
o produto cartesiano
com as operações definidas forma um espaço vetorial, podemos estender isso para
espaços vetoriais
.
A definição das operações será similar:
- Soma de vetores: Se
e , então:
- Multiplicação por escalar: Para um escalar
:
A verificação dos axiomas segue o mesmo passo a passo que fizemos para
, aproveitando que cada componente pertence a um espaço vetorial que já satisfaz os axiomas.
Resposta
Com as operações de soma e multiplicação definidas componente a componente, o conjunto
é um espaço vetorial. Essa definição é válida para qualquer número finito de espaços vetoriais
, pois todos os axiomas são satisfeitos seguindo o mesmo raciocínio aplicado para dois espaços.