Dados os espaços vetoriais E1, E2, considere o conjunto E=E1 times E2 (produto cartesiano de E1 por E2 ), cujos elementos são os pares ordenados v=(v1, v2), com v1 in E1 e v2 in E2. Defina operações que tornem E um espaço vetorial. Verifique a validez de cada um dos axiomas e mostre que sua definição se estende para o caso de n espaços vetoriais E1, ldots, En.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente pegar dois espaços vetoriais, e , e formar um novo espaço vetorial que é basicamente o produto cartesiano de e . Isso significa que os elementos de são pares ordenados , onde vem de e vem de . A nossa missão é definir operações de soma e multiplicação por escalar nesse novo espaço , verificar se todas as regras (axiomas) de um espaço vetorial são satisfeitas e mostrar que isso vale também se tivermos mais de dois espaços vetoriais, até .

Passo 2

Primeiro, vamos definir como será a soma de dois vetores em (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2) . Se temos dois vetores e em , a soma deles vai ser:
Aqui, estamos somando os primeiros componentes e no espaço , e os segundos componentes e no espaço . Essa definição segue a ideia de soma componente a componente.

Passo 3

Agora, vamos definir a multiplicação de um vetor por um escalar. Se temos um vetor alpha cdot (v1, v2) = (alpha v1, alpha v2) em e um escalar , a multiplicação será:
Aqui, multiplicamos cada componente do vetor pelo escalar individualmente nos espaços e . Isso mantém a estrutura linear dos espaços.

Passo 4

Com as operações definidas, precisamos verificar se elas satisfazem todos os axiomas de um espaço vetorial. Vamos checar alguns principais:
  1. Fechamento na soma e na multiplicação por escalar: Como [(u1, u2) + (v1, v2)] + (w1, w2) = (u1 + v1 + w1, u2 + v2 + w2) e (u1, u2) + [(v1, v2) + (w1, w2)] = (u1 + v1 + w1, u2 + v2 + w2) são espaços vetoriais, a soma (v1, v2) + (0, 0) = (v1 + 0, v2 + 0) = (v1, v2) em (v1, v2) + (-v1, -v2) = (0, 0) e alpha cdot [(u1, u2) + (v1, v2)] = alpha cdot (u1 + v1, u2 + v2) = (alpha(u1 + v1), alpha(u2 + v2)) = (alpha u1 + alpha v1, alpha u2 + alpha v2) em alpha cdot (u1, u2) + alpha cdot (v1, v2) = (alpha u1, alpha u2) + (alpha v1, alpha v2) = (alpha u1 + alpha v1, alpha u2 + alpha v2) também estão em seus respectivos espaços. O mesmo vale para a multiplicação por escalar e .
  2. Associatividade da soma: Para três vetores , e em :
Ambos resultam no mesmo vetor, então a associatividade é válida.
  1. Elemento neutro da soma: O vetor , onde é o neutro em e , satisfaz:
  1. Inverso aditivo: Para cada , existe que satisfaz:
  1. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
Os dois lados são iguais, então a distribuição funciona.
Esses são apenas alguns dos axiomas, mas seguindo esse raciocínio, todos os outros são satisfeitos devido às propriedades dos espaços e .

Passo 5

Agora que vimos que para dois espaços vetoriais v + u = (v1 + u1, v2 + u2, ldots, vn + un) e alpha cdot v = (alpha v1, alpha v2, ldots, alpha vn) o produto cartesiano com as operações definidas forma um espaço vetorial, podemos estender isso para espaços vetoriais .
A definição das operações será similar:
  • Soma de vetores: Se e , então:
  • Multiplicação por escalar: Para um escalar :
A verificação dos axiomas segue o mesmo passo a passo que fizemos para , aproveitando que cada componente pertence a um espaço vetorial que já satisfaz os axiomas.

Resposta

Com as operações de soma e multiplicação definidas componente a componente, o conjunto é um espaço vetorial. Essa definição é válida para qualquer número finito de espaços vetoriais , pois todos os axiomas são satisfeitos seguindo o mesmo raciocínio aplicado para dois espaços.

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