Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares reais, usando os algoritmos de eliminação e eliminação total:
2 x+y & =0 2 y+x+z & =0 2 z+y & =0

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos um sistema de equações lineares com três variáveis reais. O conteúdo que vamos utilizar aqui é a eliminação de variáveis, que nos ajuda a simplificar o sistema para encontrar os valores das incógnitas. Precisaremos manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez.

Passo 2

Começamos com o sistema original:
2x + y = 0 (Equação 1) x + 2y + z = 0 (Equação 2) y + 2z = 0 (Equação 3) çãçãçã
Nosso objetivo é eliminar uma variável para simplificar o sistema.

Passo 3

Primeiro, vamos isolar o 2x + y = 0 Rightarrow y = -2x na Equação 1:
Agora, temos o valor de em termos de .

Passo 4

Vamos substituir x + 2(-2x) + z = 0 x - 4x + z = 0 -3x + z = 0 z = 3x na Equação 2:
Agora, temos em termos de .

Passo 5

Substituímos -2x + 2z = 0 2z = 2x z = x na Equação 3:
Observamos que .

Passo 6

Comparando com o resultado do Passo 4, onde x = 3x Rightarrow 3x - x = 0 Rightarrow 2x = 0 Rightarrow x = 0 , temos:
Encontramos que .

Passo 7

Agora que sabemos que y = -2x = -2(0) = 0 z = 3x = 3(0) = 0 , substituímos de volta para encontrar e :

Resposta

O conjunto solução do sistema é , e .

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Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares reais, usando os algoritmos de eliminação e eliminação total:
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Em R^2, mantenhamos a definição do produto alpha cdot v de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma u+v dos vetores u=(x1, y1) e v=(x2, y2). Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
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Dados os espaços vetoriais E1, E2, considere o conjunto E=E1 times E2 (produto cartesiano de E1 por E2 ), cujos elementos são os pares ordenados v=(v1, v2), com v1 in E1 e v2 in E2. Defina operações que tornem E um espaço vetorial. Verifique a validez de cada um dos axiomas e mostre que sua definição se estende para o caso de n espaços vetoriais E1, ldots, En.