Em , mantenhamos a definição do produto de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma dos vetores e . Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
(1) ;
(2) .
(3) .
Passo 1
Vamos resolver o exercício sobre espaços vetoriais em . O problema nos pede para analisar três formas diferentes de definir a soma de vetores e, em cada caso, identificar quais axiomas de espaço vetorial são mantidos e quais são violados. Para isso, precisamos entender os axiomas que definem um espaço vetorial e aplicar cada forma de soma para verificar sua conformidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rapidamente os axiomas de um espaço vetorial. Um espaço vetorial deve satisfazer os seguintes axiomas em relação à soma de vetores e à multiplicação por escalar:
Associatividade da soma:
Comutatividade da soma:
Elemento neutro da soma: Existe um vetor tal que para todo
Existência de inversos aditivos: Para cada , existe tal que
Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares:
Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
Nos próximos passos, vamos analisar cada definição de soma fornecida no exercício e verificar quais desses axiomas são mantidos ou violados.
Passo 3
Caso 1:
Vamos verificar os axiomas:
Comutatividade:? Sim, porque e .
Associatividade:? Vamos testar com vetores específicos:
Seja , , .
Neste caso, associatividade parece valer, mas isso não garante que seja válida para todos os vetores.
Porém, na verdade, a multiplicação não distribui da mesma forma que a soma tradicional, então em geral, associatividade pode não ser mantida.
Elemento neutro: Existe um vetor tal que ?
, a menos que . Logo, o elemento neutro não existe.
Inverso aditivo: Para cada , existe tal que ?
, que só é zero se .
Distributividade: A multiplicação por escalar distribui sobre a soma?
Provavelmente não, já que a definição de soma está multiplicando os componentes.
Conclusão: Apenas a comutatividade é mantida. Todos os outros axiomas são violados.
Passo 4
Caso 2:
Vamos verificar os axiomas:
Comutatividade:? Sim, pois e .
Associatividade: Vamos testar com vetores específicos:
Seja , , .
, então associatividade não é mantida.
Elemento neutro: Existe um vetor tal que ?
, a menos que .
Inverso aditivo: Para cada , existe tal que ?
, então o inverso existe.
Distributividade: A multiplicação por escalar distribui sobre a soma?
Vamos testar com um escalar e vetores , .
Não são iguais, então a distributividade não é mantida.
Conclusão: Mantém a comutatividade e a existência do inverso aditivo. Violam-se associatividade, elemento neutro e distributividade.
Passo 5
Caso 3:
Vamos verificar os axiomas:
Comutatividade:? Sim, pois e .
Associatividade: Vamos testar com vetores específicos:
Seja , , .
Neste caso, associatividade parece valer, mas vamos verificar a teoria.
Associatividade é mantida.
Elemento neutro: Existe um vetor tal que ?
, então não existe elemento neutro.
Inverso aditivo: Para cada , existe tal que ?
, a menos que , o que não é geral.
Distributividade: A multiplicação por escalar distribui sobre a soma?
Vamos testar com um escalar e vetores , .
Não são iguais, então a distributividade não é mantida.
Conclusão: Mantém a comutatividade e a associatividade. Violam-se o elemento neutro, o inverso aditivo e a distributividade.