Em
, mantenhamos a definição do produto
de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma
dos vetores
e
. Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
(1)
;
(2)
.
(3)
.
(1)
(2)
(3)
Passo 1
Vamos resolver o exercício sobre espaços vetoriais em
. O problema nos pede para analisar três formas diferentes de definir a soma de vetores e, em cada caso, identificar quais axiomas de espaço vetorial são mantidos e quais são violados. Para isso, precisamos entender os axiomas que definem um espaço vetorial e aplicar cada forma de soma para verificar sua conformidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rapidamente os axiomas de um espaço vetorial. Um espaço vetorial deve satisfazer os seguintes axiomas em relação à soma de vetores e à multiplicação por escalar:
- Associatividade da soma:
- Comutatividade da soma:
- Elemento neutro da soma: Existe um vetor
tal que para todo - Existência de inversos aditivos: Para cada
, existe tal que - Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares:
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
Nos próximos passos, vamos analisar cada definição de soma fornecida no exercício e verificar quais desses axiomas são mantidos ou violados.
Passo 3
Caso 1:
Vamos verificar os axiomas:
-
Comutatividade:
? Sim, porque e . -
Associatividade:
? Vamos testar com vetores específicos: Seja, , .
Neste caso, associatividade parece valer, mas isso não garante que seja válida para todos os vetores.Porém, na verdade, a multiplicação não distribui da mesma forma que a soma tradicional, então em geral, associatividade pode não ser mantida. -
Elemento neutro: Existe um vetor
tal que ? , a menos que . Logo, o elemento neutro não existe. -
Inverso aditivo: Para cada
, existe tal que ? , que só é zero se . -
Distributividade: A multiplicação por escalar distribui sobre a soma?
Provavelmente não, já que a definição de soma está multiplicando os componentes.
Conclusão: Apenas a comutatividade é mantida. Todos os outros axiomas são violados.
Passo 4
Caso 2:
Vamos verificar os axiomas:
-
Comutatividade:
? Sim, pois e . -
Associatividade: Vamos testar com vetores específicos:Seja
, , .
, então associatividade não é mantida. -
Elemento neutro: Existe um vetor
tal que ? , a menos que . -
Inverso aditivo: Para cada
, existe tal que ? , então o inverso existe. -
Distributividade: A multiplicação por escalar distribui sobre a soma?Vamos testar com um escalar
e vetores , .
Não são iguais, então a distributividade não é mantida.
Conclusão: Mantém a comutatividade e a existência do inverso aditivo. Violam-se associatividade, elemento neutro e distributividade.
Passo 5
Caso 3:
Vamos verificar os axiomas:
-
Comutatividade:
? Sim, pois e . -
Associatividade: Vamos testar com vetores específicos:Seja
, , .
Neste caso, associatividade parece valer, mas vamos verificar a teoria.
Associatividade é mantida. -
Elemento neutro: Existe um vetor
tal que ? , então não existe elemento neutro. -
Inverso aditivo: Para cada
, existe tal que ? , a menos que , o que não é geral. -
Distributividade: A multiplicação por escalar distribui sobre a soma?Vamos testar com um escalar
e vetores , .
Não são iguais, então a distributividade não é mantida.
Conclusão: Mantém a comutatividade e a associatividade. Violam-se o elemento neutro, o inverso aditivo e a distributividade.
Resposta
Para cada definição de soma:
-
- Axioma Mantidos: Comutatividade
- Axiomas Violados: Associatividade, elemento neutro, inversos aditivos, distributividade
-
- Axiomas Mantidos: Comutatividade, existência de inversos aditivos
- Axiomas Violados: Associatividade, elemento neutro, distributividade
-
- Axiomas Mantidos: Comutatividade, associatividade
- Axiomas Violados: Elemento neutro, inversos aditivos, distributividade