Em R^2, mantenhamos a definição do produto alpha cdot v de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma u+v dos vetores u=(x1, y1) e v=(x2, y2). Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
(1) u+v=(x1 x2, y1 y2);
(2) u+v=(3 x1+3 x2, 5 x1+5 x2).
(3) u+v=(x1+x2+1, y1+y2+1).

Passo 1

Vamos resolver o exercício sobre espaços vetoriais em R^2. O problema nos pede para analisar três formas diferentes de definir a soma de vetores e, em cada caso, identificar quais axiomas de espaço vetorial são mantidos e quais são violados. Para isso, precisamos entender os axiomas que definem um espaço vetorial e aplicar cada forma de soma para verificar sua conformidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidamente os axiomas de um espaço vetorial. Um espaço vetorial deve satisfazer os seguintes axiomas em relação à soma de vetores e à multiplicação por escalar:
  1. Associatividade da soma: (u + v) + w = u + (v + w)
  2. Comutatividade da soma: u + v = v + u
  3. Elemento neutro da soma: Existe um vetor 0 tal que u + 0 = u para todo u
  4. Existência de inversos aditivos: Para cada u, existe -u tal que u + (-u) = 0
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares: a(bu) = (ab)u
  6. Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1u = u
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores: a(u + v) = au + av
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares: (a + b)u = au + bu
Nos próximos passos, vamos analisar cada definição de soma fornecida no exercício e verificar quais desses axiomas são mantidos ou violados.

Passo 3

Caso 1: u + v = (x1 x2, y1 y2)
Vamos verificar os axiomas:
  • Comutatividade: u + v = v + u? Sim, porque x1x2 = x2x1 e y1y2 = y2y1.
  • Associatividade: (u + v) + w = u + (v + w)? Vamos testar com vetores específicos:
    Seja u=(1,2), v=(3,4), w=(5,6).
    (u + v) = (1*3, 2*4) = (3,8)
    (u + v) + w = (3*5, 8*6) = (15,48)
    v + w = (3*5, 4*6) = (15,24)
    u + (v + w) = (1*15, 2*24) = (15,48)
    Neste caso, associatividade parece valer, mas isso não garante que seja válida para todos os vetores.
    Porém, na verdade, a multiplicação não distribui da mesma forma que a soma tradicional, então em geral, associatividade pode não ser mantida.
  • Elemento neutro: Existe um vetor 0 tal que u + 0 = u?
    u + 0 = (x1*0, y1*0) = (0,0) neq u, a menos que u = 0. Logo, o elemento neutro não existe.
  • Inverso aditivo: Para cada u, existe -u tal que u + (-u) = 0?
    u + (-u) = (x1*(-x1), y1*(-y1)) = (-x1^2, -y1^2), que só é zero se x1 = y1 = 0.
  • Distributividade: A multiplicação por escalar distribui sobre a soma?
    Provavelmente não, já que a definição de soma está multiplicando os componentes.
Conclusão: Apenas a comutatividade é mantida. Todos os outros axiomas são violados.

Passo 4

Caso 2: u + v = (3 x1 + 3 x2, 5 y1 + 5 y2)
Vamos verificar os axiomas:
  • Comutatividade: u + v = v + u? Sim, pois 3x1 + 3x2 = 3x2 + 3x1 e 5y1 + 5y2 = 5y2 + 5y1.
  • Associatividade: Vamos testar com vetores específicos:
    Seja u=(1,2), v=(3,4), w=(5,6).
    (u + v) = (3*1 + 3*3, 5*2 + 5*4) = (12, 30)
    (u + v) + w = (3*12 + 3*5, 5*30 + 5*6) = (51, 180)
    v + w = (3*3 + 3*5, 5*4 + 5*6) = (24, 50)
    u + (v + w) = (3*1 + 3*24, 5*2 + 5*50) = (75, 260)
    (u + v) + w neq u + (v + w), então associatividade não é mantida.
  • Elemento neutro: Existe um vetor 0 tal que u + 0 = u?
    u + 0 = (3x1 + 3*0, 5y1 + 5*0) = (3x1, 5y1) neq u, a menos que x1 = y1 = 0.
  • Inverso aditivo: Para cada u, existe -u tal que u + (-u) = 0?
    u + (-u) = (3x1 + 3*(-x1), 5y1 + 5*(-y1)) = (0,0), então o inverso existe.
  • Distributividade: A multiplicação por escalar distribui sobre a soma?
    Vamos testar com um escalar a=2 e vetores u=(1,1), v=(2,2).
    a(u + v) = 2*(3*1 + 3*2, 5*1 + 5*2) = 2*(9,15) = (18,30)
    au + av = (2*1, 2*1) + (2*2, 2*2) = (2+4, 2+4) = (6,6)
    Não são iguais, então a distributividade não é mantida.
Conclusão: Mantém a comutatividade e a existência do inverso aditivo. Violam-se associatividade, elemento neutro e distributividade.

Passo 5

Caso 3: u + v = (x1 + x2 + 1, y1 + y2 + 1)
Vamos verificar os axiomas:
  • Comutatividade: u + v = v + u? Sim, pois x1 + x2 +1 = x2 + x1 +1 e y1 + y2 +1 = y2 + y1 +1.
  • Associatividade: Vamos testar com vetores específicos:
    Seja u=(1,2), v=(3,4), w=(5,6).
    (u + v) = (1+3+1, 2+4+1) = (5,7)
    (u + v) + w = (5+5+1, 7+6+1) = (11,14)
    v + w = (3+5+1, 4+6+1) = (9,11)
    u + (v + w) = (1+9+1, 2+11+1) = (11,14)
    Neste caso, associatividade parece valer, mas vamos verificar a teoria.
    (u + v) + w = (x1 + x2 +1 + x3 +1, y1 + y2 +1 + y3 +1) = (x1 + x2 + x3 +2, y1 + y2 + y3 +2)
    u + (v + w) = (x1 + x2 + x3 +1 +1, y1 + y2 + y3 +1 +1) = (x1 + x2 + x3 +2, y1 + y2 + y3 +2)
    Associatividade é mantida.
  • Elemento neutro: Existe um vetor 0 tal que u + 0 = u?
    u + 0 = (x1 + 0 +1, y1 + 0 +1) = (x1 +1, y1 +1) neq u, então não existe elemento neutro.
  • Inverso aditivo: Para cada u, existe -u tal que u + (-u) = 0?
    u + (-u) = (x1 + (-x1) +1, y1 + (-y1) +1) = (1,1) neq 0, a menos que x1 = y1 = -12, o que não é geral.
  • Distributividade: A multiplicação por escalar distribui sobre a soma?
    Vamos testar com um escalar a=2 e vetores u=(1,1), v=(2,2).
    a(u + v) = 2*(1+2+1, 1+2+1) = 2*(4,4) = (8,8)
    au + av = (2*1, 2*1) + (2*2, 2*2) = (2+2, 2+2) = (4,4)
    Não são iguais, então a distributividade não é mantida.
Conclusão: Mantém a comutatividade e a associatividade. Violam-se o elemento neutro, o inverso aditivo e a distributividade.

Resposta

Para cada definição de soma:
  1. u + v = (x1 x2, y1 y2)
    • Axioma Mantidos: Comutatividade
    • Axiomas Violados: Associatividade, elemento neutro, inversos aditivos, distributividade
  2. u + v = (3x1 + 3x2, 5y1 + 5y2)
    • Axiomas Mantidos: Comutatividade, existência de inversos aditivos
    • Axiomas Violados: Associatividade, elemento neutro, distributividade
  3. u + v = (x1 + x2 +1, y1 + y2 +1)
    • Axiomas Mantidos: Comutatividade, associatividade
    • Axiomas Violados: Elemento neutro, inversos aditivos, distributividade

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