Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares reais, usando os algoritmos de eliminação e eliminação total:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão quer é a gente encontrar os valores de
,
,
e
que satisfazem todas as equações do sistema. Para isso, vamos usar os métodos de eliminação e eliminação total, que são técnicas para resolver sistemas lineares. Precisamos entender bem como manipular as equações para isolar as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais organizada:
Nosso objetivo é encontrar cada variável. Vamos começar isolando algumas variáveis para facilitar.
Passo 3
Vamos resolver a Equação 4 para
x4 + x1 = 0 x1 = -x4 :
Agora sabemos que
pode ser expresso em termos de
. Isso é útil para substituir em outras equações.
Passo 4
Agora, vamos usar o valor de
x1 + x2 = 1 (-x4) + x2 = 1 x2 = 1 + x4 na Equação 2:
Então,
também está em termos de
.
Passo 5
Vamos usar o valor de
x2 + x3 = 2 (1 + x4) + x3 = 2 x3 + x4 = 2 - 1 x3 + x4 = 1 na Equação 3:
Mas atenção! Na Equação 1, temos:
Agora temos um conflito:
Isso não faz sentido a menos que haja um erro. Vamos verificar os cálculos.
Passo 6
Revisando os passos anteriores, percebemos que houve um erro na substituição. Vamos corrigir.
Na Equação 3:
Agora, substituímos
(1 - x4) + x4 = -1 1 = -1 na Equação 1:
Isso é impossível, o que significa que não há solução para o sistema. O sistema é inconsistente.
Resposta
O sistema não possui solução; é inconsistente.
Exercícios relacionados
Dados os espaços vetoriais
E1, E2 , considere o conjunto
E=E1 times
E2 (produto cartesiano de
E1 por
E2 ), cujos elementos são os pares ordenados
v=(v1, v2) , com
v1 in E1 e
v2 in E2 . Defina operações que tornem
E um espaço vetorial. Verifique a validez de cada um dos axiomas e mostre que sua definição se estende para o caso de
n espaços vetoriais
E1, ldots, En .
Em
R^2 , mantenhamos a definição do produto
alpha cdot v de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma
u+v dos vetores
u=(x1, y1) e
v=(x2, y2) . Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
(1)u+v=(x1 x2, y1 y2) ;
(2)u+v=(3 x1+3 x2, 5 x1+5 x2) .
(3)u+v=(x1+x2+1, y1+y2+1) .
(1)
(2)
(3)
Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares reais, usando os algoritmos de eliminação e eliminação total:
2 x+y & =y y+x+z & =y 2 z+y & =y
Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares reais, usando os algoritmos de eliminação e eliminação total:
-2 x+y+z & =0 3 y+4 z & =1 4 x+2 y & =2 w-x & =2